1、 A基础达标1.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个 D.1个或无数个解析：选D.当两点连线与平面垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.2.从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角l的平面角的大小是（）A.60 B.120C.60或120 D.不确定解析：选C.若点P在二面角内，则二面角的平面角为120；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.3.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，则BD与CC1（）A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直解析：选C
2、.如图所示，在四边形ABCD中，因为ABBC，ADCD.所以BDAC.因为平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，所以BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，所以BDCC1，故选C.4.如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是（）A.平面ABD平面ABC B.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDC D.平面ADC平面ABC解析：选D.由已知得BAAD，CDBD，又平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，从而C
3、DAB，故AB平面ADC.又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC.5.将锐角A为60，边长为a的菱形沿BD折成60的二面角，则折叠后A与C之间的距离为（）A.a B.aC.a D.a解析：选C.设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连结A1E，CE.则BDCE，BDA1E.于是A1EC为二面角A1BDC的平面角.故A1EC60.因为A1ECE，所以A1EC是等边三角形.所以A1ECEA1Ca.6.若l为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：，则；，则；l，l，则.其中正确命题的序号为.答案：7.平面四边形ABCD，其中ABAD1，BCCD，ABAD，沿BD将ABD折起，使得
4、AC1，则二面角ABDC的平面角的正弦值为.解析：取BD中点E，连结AE，CE.因为ABAD，BCCD，所以AEBD，CEBD，所以AEC为二面角ABDC的平面角.DAB中，ABAD1，ABAD，所以AE.BCD中，BCCD，BD，所以CE.又AC1，所以AEC中，AE2AC2CE2，EAC90.所以sinAEC.答案：8.在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PCA90，ABC是边长为4的正三角形，PC4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为.解析：如图，连结CM，则由题意知PC平面ABC，可得PCCM，所以PM，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在ABC中，当CMAB时CM有
5、最小值，此时有CM42，所以PM的最小值为2.答案：29.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB平面ABCD.证明：连结AC交BD于点F，连结EF，所以EF是SAC的中位线，所以EFSC.因为SC平面ABCD，所以EF平面ABCD.又EF平面EDB，所以平面EDB平面ABCD.B能力提升1.如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（）A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉两个点解析：选D.因为平面PAC平面PBC，ACPC，平面PAC平面PBCPC，AC平
6、面PAC，所以AC平面PBC.又因为BC平面PBC，所以ACBC.所以ACB90.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.2.如图，二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是.解析：如图，过点A作ACl，垂足为C，AD，垂足为D，连结CD、BD.由题意知ACD60，ABC30，ABD即为AB与平面所成的角.设ACa，则AB2a，ADa，所以sinABD.答案：3.如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E是AB的中点，沿DE将ADE折起.（1）如果二面角ADEC是直二面角，求证：ABAC；（2）如果ABAC，求证：平面ADE平面BCDE
7、.证明：（1）过点A作AMDE于点M，则AM平面BCDE，所以AMBC.又ADAE，所以M是DE的中点，取BC中点N，连结MN，AN，则MNBC.又AMBC，AMMNM，所以BC平面AMN，所以ANBC.又因为N是BC的中点，所以ABAC.（2）取BC的中点N，连结AN，因为ABAC，所以ANBC.取DE的中点M，连结MN，AM，所以MNBC.又ANMNN，所以BC平面AMN，所以AMBC.又M是DE的中点，ADAE，所以AMDE.又因为DE与BC是平面BCDE内的相交直线，所以AM平面BCDE.因为AM平面ADE，所以平面ADE平面BCDE.4.（选做题）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面
8、ABCD是边长为a的菱形，DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）求证：ADPB；（2）若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论.解：（1）证明：如图所示，设G为AD的中点，连结PG，BG，因为PAD为正三角形，所以PGAD.在菱形ABCD中，因为BAD60，G为AD的中点，所以BGAD.又因为BGPGG，所以AD平面PGB.因为PB平面PGB，所以ADPB.（2）当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.设F为PC的中点，则在PBC中，FEPB.在菱形ABCD中，GBDE.因为FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB.由（1）得PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD.