1、新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编20：坐标系与参数方程一、解答题 （河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word版)）选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,曲线,以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线.(1)将曲线C1上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的2倍,3倍后得到曲线C2,试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程;(2)求C2上一点P的l的距离的最大值.【答案】 （2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数
2、学）选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为,若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心、4为半径.()求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;()试判定直线l和圆C的位置关系.【答案】解 (2)由题意,直线l的普通方程是y+5=(x-1)tan ,此方程可化为=,令=a(a为参数),得直线l的参数方程为(a为参数). 如图,设圆上任意一点为P(,),则在POM中,由余弦定理,得PM2=PO2+OM2-2POOMcosPOM, 42=2+42-24cos. 化简得=8sin ,即为圆C的极坐标方程 (2)由(1)
3、可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4), 直线l的普通方程是x-y-5-=0, 圆心M到直线l的距离d=4, 所以直线l和圆C相离 （吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）极坐标系中椭圆C的方程为 以极点为原点,极轴为轴非负半轴,建立平面直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度.()求该椭圆的直角标方程,若椭圆上任一点坐标为,求的取值范围;()若椭圆的两条弦交于点,且直线与的倾斜角互补,求证:.【答案】()该椭圆的直角标方程为, 设, 所以的取值范围是 ()设直线的倾斜角为,直线的倾斜角为, 则直线的参数方程为(为参数), 代入得: 即 设对应参数分别为,则, 同理 所以 （山
4、西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）选修4-4:极坐标与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程是: (为参数).()求曲线的直角坐标方程,直线的普通方程;()将曲线横坐标缩短为原来的,再向左平移1个单位,得到曲线,求曲线上的点到直线距离的最小值.【答案】 （河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）选修44;坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线;过点的直线的参数方程为(是参数),直线与曲线C分别交于M、N两点.(1)写出曲线C和直线的普通方程;(2)若成等比数列,求的值.【答案】解:()曲线的普通方程为
5、直线的普通方程为 ()将直线的参数表达式代入抛物线得, 因为, 由题意知, 代入得 . （黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word版含答案）选修4 - 4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0 ).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为cos2 = 4sin.(1)求直线l与曲线C的平面直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A、B,若,求的值.【答案】解:()直线普通方程为 曲线的极坐标方程为,则 (),将代入曲线 或 （内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）选修44:坐标
6、系与参数方程已知直线为参数), 曲线 (为参数).()设与相交于两点,求;()若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.【答案】解:(I)的普通方程为的普通方程为 联立方程组解得与的交点为, 则 (II)的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是 , 由此当时,取得最小值,且最小值为 （河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）选修44:坐标系与参数方程已知圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.()将圆的参数方程化为普通方程,将圆
7、的极坐标方程化为直角坐标方程;()圆、是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.【答案】解:()由得x2+y2=1, 又=2cos(+)=cos-sin, 2=cos-sin. x2+y2-x+y=0,即 ()圆心距,得两圆相交 由得,A(1,0),B, （山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为 (t为参数,0a),曲线C的极坐标方程为.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线
8、C相交于A、B两点,当a变化时,求|AB|的最小值.【答案】(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程 解:(I)由,得 所以曲线C的直角坐标方程为 (II)将直线l的参数方程代入,得t2sin2-4tcos-4=0. 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=,t1t2=, |AB|=|t1-t2|=, 当=时,|AB|的最小值为4 （河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为
9、.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线交于点A,B,若点P的坐标为(2,),求|PA|+|PB|.【答案】()由得 4分 ()将的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得, 即由于,故可设是上述方程的两实根, 所以故由上式及t的几何意义得: |PA|+|PB|=. 10分 （山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程选讲已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为 (为参数)()写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;()设曲线经过伸缩变换得到曲线,设曲线上任意一点为,求的最小值.【答案】() ;圆 ()
10、曲线 令 的最小值为 （黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知曲线: ,在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线的极坐标方程为.(I)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线,试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;(II)在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值.【答案】选修4-4:坐标系与参数方程 解:(I)由题意知,直线的直角坐标方程为, 由题意知曲线的直角坐标方程为, 曲线的参数方程为(为参数) (II)设,则点到直线的距离 ,
11、当时,即点的坐标为时,点到直线的距离最大, 此时 （河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word版） ）(本小题_分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,以原点0为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知 圆C的极坐标方程为.(I)当时,设OA为圆C的直径,求点A的直角坐标;(II)直线l的参数方程是(t为参数),直线l被圆C截得的弦长为d,若,求a的取值范围.【答案】选修4-4:坐标系与参数方程 解:()法一:时,圆C的直角坐标方程为, 圆心C(2,-2) 又点O的直角坐标为(0,0),且点A与点O关于点C对称, 所以点A的直角坐标为(4,
12、-4) 法二:时,圆C的直角坐标方程为 圆心C(2,-2) 又点O的直角坐标为(0,0), 所以直线OA的直线方程为 联立解得(舍)或 所以点A的直角坐标为(4,-4) 法三:由得圆心C极坐标, 所以射线OC的方程为 , 代入得 所以点A的极坐标为 化为直角坐标得A(4,-4) ()法一:圆C的直角坐标方程为, 直线l的方程为y=2x. 所以圆心C(,)到直线l的距离为, d=2=. 所以,解得 法二:圆C的直角坐标方程为, 将化为标准参数方程 代入得,解得, d=, ,所以,解得 法三:圆C的直角坐标方程为, 直线l的方程为y=2x. 联立 得 解得 d=, 所以,解得 （河南省郑州市201
13、3届高三第三次测验预测数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角 坐标系,直线l的参数方程为 (t为参数).(I)写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程;(II)设曲线C经过伸缩变换得到曲线设曲线上任一点为M(x,y),求的取值范围.【答案】解:()直线的普通方程 曲线的直角坐标方程; ()曲线经过伸缩变换得到曲线的方程为, 则点参数方程为,代入得, = 的取值范围是 （吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x
14、轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(是参数).()将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,直线的参数方程化为普通方程;()若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.【答案】(I)曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为: 直线的直角坐标方程为: ()解法一:由(1)知:圆心的坐标为(2,0),圆的半径R=2, 圆心到直线l的距离 或 解法二:把(是参数)代入方程, 得, . 或 （黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word版 ）选修44:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以正半轴为极轴,已知曲线的极坐标方程为,曲
15、线的参数方程是(为参数,射线与曲线交于极点外的三点(1)求证:;(2)当时,两点在曲线上,求与的值.【答案】解(1)设点的极坐标分别为 点在曲线上, 则= , 所以 (2)由曲线的参数方程知曲线为倾斜角为且过定点的直线, 当时,B,C点的极坐标分别为 化为直角坐标为, 直线斜率为, 直线BC的普通方程为, 过点, ,解得 （河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C:(y一2)2一=1交于A,B两点(I)求|AB|的长;()在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为
16、()求点P到线段AB中点M的距离. 【答案】 （河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）选修44,坐标系与参数方程已知直线的参数方程是(是参数),圆C的极坐标方程为.(1)求圆心C的直角坐标;(2)由直线上的点向圆引切线,求切线长的最小值.【答案】 （云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word版） ）【选修4-4:坐标系与参数方程】已知曲线的参数方程为(为参数),是曲线与轴正半轴的交点.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点与曲线只有一个公共点的直线的极坐标方程.【答案】 （山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知点,参数,点Q在
17、曲线C:上.(1)求在直角坐标系中点的轨迹方程和曲线C的方程;(2)求|PQ|的最小值.【答案】试题分析:设点P的坐标为(x,y),则有消去参数,可得由于0,y0,故点P的轨迹是上半圆曲线C:,即,即 sin-cos=10,故曲线C的直角坐标方程:x-y+10=0.(2)如图所示:由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上,点P在半圆上,半圆的圆心C(1,0)到直线x-y+10=0的距离等于.即|PQ|的最小值为-1. （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程平面直角坐标系中,将曲线为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为
18、原来的倍得到曲线,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线的方程为()求和的普通方程:()求和公共弦的垂直平分线的极坐标方程.【答案】()横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到 又 ()公共弦的垂直平分线的极坐标方程是 （云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）(本小题满分l0分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,过点P(1,0)作倾斜角为的直线l,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为=1,将曲线C1上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到曲线C2,直线l与曲线C2交于不同的两点M,N.(I)求曲线C
19、2的普通方程;(II)求的值.【答案】 （2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）选修4-4:坐标系与参数方程选讲.在极坐标系内,已知曲线的方程为,以极点为原点,极轴方向为正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为(为参数).(1) 求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程;(2) 设点为曲线上的动点,过点作曲线的两条切线,求这两条切线所成角余弦值的取值范围. 【答案】【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容. 【试题解析】解:(1) 对于曲线的方程为, 可化为直角坐标方程,即; 对于曲线的参数方程为(为参数), 可化为普通方程. (2) 过圆心点作直线的垂线,此时两切线成角最大,即余弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知, ,则,因此, 因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是.
