1、新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编16：导数一、选择题 （河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）已知为的导函数,则的图像是 【答案】A （吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）已知,并设: ,至少有3个实根;当时,方程有9个实根;当时,方程有5个实根.则下列命题为真命题的是（）ABC仅有D【答案】A （2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）已知函数的图像如图所示(其中是函数的导函数),下面四个图像中,的图像可能是 ABCD【答案】B （河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试
2、数学（理）试题 ）二项式的展开式的第二项的系数为,则的值为（）AB C或D或【答案】C （2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）已知函数,若图像上任意一点的切线的斜率恒成立,则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D （山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）已知函数的图像为曲线C,若曲线C存在与直线垂直的切线,则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】B （河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为,且是偶函数, 则曲线:y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程
3、为（）A9xy16 = 0B9x+y16 = 0 C6x-y12 = 0D6x+y12 = 0【答案】A （河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）已知直线与曲线相切时,则a=（）A1B2C一1D一2【答案】B （云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word版） ）已知常数、都是实数,的导函数为,的解集为,若的极小值等于-115,则的值是（）ABC2D5【答案】C 二、填空题（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）函数的图像和其在点处的切线与轴所围成区域的面积为_.【答案】【命题意图】本小题通过积分问题考查学生的运算求解能力,着重考查积分在曲边图形面
4、积求取上的应用,是一道中档难度试题. 【试题解析】由可得, 即切线方程为, 即为,将改写成, 将改写成 因此. （河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知的图像在点处的切线斜率是_;【答案】 -1 （山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是_.【答案】 （山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知函数,其导函数记为,则_. 【答案】2 （黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word版含答案）求值_【答案】1 （2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）函数满足,则不等式
5、的解集为_.【答案】【命题意图】本小题以导数与函数图像的基本关系为载体,考查数形结合的数学思想,是一道较难综合试题. 【试题解析】利用换元法,将换元成,则原式化为, 当时,且,又由, 可知当时,;当时,. 故的解集为,即,因此. （黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word版 ）设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为_【答案】2 （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）设,则二项式展开式中含项的系数是_【答案】 （吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）若的展开式中的系数为,
6、则的值为_.【答案】三、解答题（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知函数(1)若.求证:;(2)若满足试求实数的取值范围山西大学附【答案】解:() ()由()可知,在为单调增函数. zxxk 且 当时,;当时,;当时, 综上所述: 来源:学科网ZXXK （2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）已知函数、都定义在上,其中是自然常数.()讨论时,的单调性;()求证:在()的条件下,恒成立;()若,时,对于,使,求的取值范围.【答案】解(1):, 时,恒成立,在上是单调递增函数 (2):由(1)知,令,则,时,在上单调递减, ,即 解(3):,时,由得,在上单调递增,即
7、的值域是,时,在在上单调递增,即的值域是, ,的值域是的值域的子集, （河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）已知函数(I)讨论函数在定义域上的单调性;()若函数的图像有两个不同的交点,求的取值范围.【答案】 （山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知函数.zxxk(1)函数在区间上是增函数还是减函数?证明你的结论;(2)当时,恒成立,求整数的最大值;(3)试证明:().【答案】解:()由题 故在区间上是减函数; ()当时,恒成立,即在上恒成立,取,则, 再取则 故在上单调递增, 而, 故在上存在唯一实数根, 故时,时, zxxk 故故 以式代入可得AB的斜率k=
8、为定值; (3)由(2)知: 令, 又 即: （河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）已知函数().(1)若函数在处取得极大值,求的值;(2)时,函数图象上的点都在所表示的区域内,求的取值范围;(3)证明:,.【答案】解析:(1),由 经检验符合题意 (2)依题意知,不等式在恒成立.令, 当k0时,取x=1,有,故k0不合. 当k0时, g(x)=-2kx=. 令g(x)=0,得x1=0,x2=-1 当k时, 0,g(x)0在(0,+)上恒成立,因此g(x)在0,+)上单调递减,从而对任意的x0,+),总有g(x)g(0)=0,故k符合题意. 当0k0, 对于x,g(x)
9、0, 故g(x)在内单调递增,因此当取x0时,g(x0)g(0)=0,不合. 综上, (3)证明:当n=1时,不等式左边=2-ln32=右边,所以不等式成立. 当n2时,在(2)中取k=,得 取x=代入上式得:-ln(1+) 2-ln3+ -ln(2n+1)2-ln3+1-2. 综上,-ln(2n+1)g(x0)成立,求m的取值范围.【答案】解:(), . 令,则. ,和的变化情况如下表:+0递增极大值递减即函数的单调递增区间是,递减区间为, 函数有极大值; () 由已知在上恒成立, 即, 故在上恒成立,只需, 即,只有,由,知; ()令 . （黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试
10、理科数学 Word版含答案）已知函数.(1)若在x = 2处取得极小值,求a的值;(2)若在上恒成立,求a的取值范围;(3)求证:当n 2时,.【答案】解:()的定义域为, 在处取得极小值,即 此时,经验证是的极小值点,故. (), 当时,在上单调递减, 当时,矛盾. 当时, 令,得;,得 ()当,即时, 时,即递减,矛盾. ()当,即时, 时,即递增,满足题意. 综上,. ()证明:由()知令,当时,(当且仅当时取“”) 当时, 即当有 （黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word版 ）已知函数(1)当时,讨论函数的单调性;(2)是否存在实数,对任意的,且,有恒成立,
11、若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】解:(1) 当时,由得,得 当时,由得或,由得; 当时,恒成立; 当时,由得或,由得; 综上,当时,在单调递减;在上单调递增; 当时,在和上单调递增;在上单调递减; 当时,在上单调递增; 当时,在和上单调递增;在上单调递减 (2),令 要使,只要在上为增函数,即在上恒成立, 因此,即 故存在实数,对任意的,且,有恒成立 （河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word版） ）已知函数f(x)= e2x-ax(aR,e为自然对数的底数).(I)讨论函数f(x)的单调性;(II)若a=1,函数g(x)=(x-m)f(x)-e
12、2x+x2+x在区间(0,+)上为增函数,求整数m 的最大值.【答案】解:()定义域为, 当时,所以在上为增函数; 当时,由得,且当时, 当时, 所以在为减函数,在为增函数 ()当时, 若在区间上为增函数, 则在恒成立, 即在恒成立, 令,; ,;令, 可知, 又当时, 所以函数在只有一个零点, 设为,即,且; 由上可知当时,即;当时,即, 所以,有最小值, 把代入上式可得,又因为,所以, 又恒成立,所以,又因为为整数, 所以,所以整数的最大值为1 （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）已知函数(,为自然对数的底数)()若函数有三个极值点,求的取
13、值范围()若存在实数,使对任意的,不等式恒成立,求正整数的最大值【答案】(II)不等式 ,即,即. 转化为存在实数,使对任意的, 不等式恒成立. 即不等式在上恒成立. 即不等式在上恒成立 设,则. 设,则,因为,有. 故在区间上是减函数 又 故存在,使得. 当时,有,当时,有. 从而在区间上递增,在区间上递减 又 所以当时,恒有;当时,恒有; 故使命题成立的正整数的最大值为5 （黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数(为非零常数).(I)当时,求函数的最小值;(II)若恒成立,求的值;(III)对于增区间内的三个实数(其中),证明:.【答案】解:(I)由,得, 令,
14、得. 当,知在单调递减; 当,知在单调递增; 故的最小值为 (II),当时,恒小于零,单调递减. 当时,不符合题意 对于,由得 当时,在单调递减; 当时,在单调递增; 于是的最小值为 只需成立即可,构造函数. ,在上单调递增,在上单调递减,来源:Zxxk.Com 则,仅当时取得最大值,故,即 (III)解法1: 由已知得:, 先证, 设 ,在内是减函数, ,即 同理可证, (III)解法2: 令得. 下面证明. 令,则恒成立,即为增函数 , 构造函数(), , ,故时,即得, 同理可证 即,因为增函数, 得,即在区间上存在使; 同理,在区间上存在使, 由为增函数得 （吉林省吉林市2013届高三
15、三模（期末）试题 数学理 ）已知定义在的函数,在处的切线斜率 为()求及的单调区间;()当时,恒成立,求的取值范围.【答案】解: () 由题可知 ,易知, 令 ,则,则 为增函数所以为的唯一解 令 可知的减区间为() 同理增区间为(),() ()令 注:此过程为求最小值过程,方法不唯一,只要论述合理就给分, 若则,在为增函数, 则满足题意; 若则 因为, 则对于任意,必存在,使得 必存在使得则在为负数, 在为减函数,则矛盾, 注:此过程为论述当时存在减区间,方法不唯一,只要论述合理就给分; 综上所述 （吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数(aR,e为自然对数的底数
16、).()当a=1时,求的单调区间;()若函数在上无零点,求a的最小值;()若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求a的取值范围.【答案】解:(I)当 由由 故 (II)因为上恒成立不可能, 故要使函数上无零点,只要对任意的恒成立, 即对恒成立 令 则 综上,若函数 (III) 所以,函数 故 此时,当的变化情况如下:0+最小值 即对任意恒成立 由式解得: 综合可知,当 在 使成立 （河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知函数f(x)=1n(2ax+1)+-x2-2ax(aR).(1)若y=f(x)在4,+)上为增函数,求实数a的取值范围;(2)当a=时,方程
17、f(1-x)=有实根,求实数b的最大值.,【答案】解:(1)因为函数在上为增函数,所以 在上恒成立. 当时,在上恒成立,所以在上为增 函数,故符合题意. 当时,由函数的定义域可知,必须有在上恒成立, 故只能,所以在上恒成立. . 令函数,其对称轴为,因为, 所以,要使在上恒成立,只要即可,即,所以,因为,所以 综上所述,的取值范围为 (2)当,方程可化为.问题转 化为在上有解,即求函数的值域.令函数 则,所以当时,函数在上为增函数,当时,函数在上为减函数,因此.而,所以,因此当时,取到最大值. （山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）已知函数(
18、1)若函数上是减函数,求实数的最小值;(2)若,使()成立,求实数的取值范围. 【答案】解:(1)因f(x)在上为减函数,故在上恒成立 所以当时, 又, 故当,即时,. 所以于是,故a的最小值为 (2)命题“若使成立”等价于 “当时,有”. 由(1),当时,. 问题等价于:“当时,有” 当时,0, 在上为减函数, 则=,故 当00,由于在上为增函数, 故的值域为,即. 由的单调性和值域知,唯一,使,且满足: 当时,为减函数;当时,为增函数; 由=,. 所以,与矛盾,不合题意. 综上,得 （山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）已知函数,且在处的切线斜率为.()求的值,并讨论在上
19、的单调性;()设函数,其中,若对任意的总存在,使得成立,求的取值范围.【答案】解:() ,或 ,或 则在上单调递增,在 上单调递减 ()当时,单调递增, 则依题在上恒成立 当时,在上恒成立,即在上单调递增,又,所以在上恒成立,即时成立 当时,当时,此时单调递减, ,故时不成立,综上 （河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word版)）已知函数的极值点为(1)求函数的单调区间,并比较与的大小关系;(2)当时,函数的零点个数;(3)如果函数在公共定义域D上,满足那么就称的“伴随函数”,已知函数,若在区间(1,+)上,函数是的“伴随函数”,求a的取值范围.请考生在
20、22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.【答案】 （云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word版） ）已知.(1)求的单调递增区间;(2)若函数在上只有一个零点,求实数的取值范围.【答案】 （河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知函数.(1)求函数的图象在处的切线方程;(2)证明不等式:;(3)对一个实数集合,若存在实数,使得M中任何数都不超过,则称是M的一个上界.已知是无穷数列所有项组成的集合的上界(其中是自然对数的底数),求实数的最大值.选做题:请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所
21、做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【答案】 （2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）已知函数.(1) 当时,求函数的单调区间;(2) 当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围.(3) 求证:,(其中,是自然对数的底).【答案】【命题意图】本小题主要通过函数与导数综合应用问题,具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容,考查考生的运算求解能力,推理论证能力,其中重点对导数对函数的描述进行考查,本题是一道难度较高且综合性较强的压轴题,也是一道关于数列拆分问题的典型例题,对今后此类问题的求解有很好的导向作用. 【试题解析】解:(1
22、) 当时, , 由解得,由解得. 故函数的单调递增区间为,单调递减区间为. (2) 因函数图象上的点都在所表示的平面区域内, 则当时,不等式恒成立,即恒成立,、 设(),只需即可. 由, (i) 当时, , 当时,函数在上单调递减,故成立. (ii) 当时,由,因,所以, 若,即时,在区间上, 则函数在上单调递增,在上无最大值,当时,此时不满足条件; 若,即时,函数在上单调递减, 在区间上单调递增,同样在上无最大值,当时,不满足条件. (iii) 当时,由, ,故函数在上单调递减,故成立. 综上所述,实数a的取值范围是. (3) 据(2)知当时,在上恒成立 (或另证在区间上恒成立), 又, 因
23、此 . . （云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）已知函数(I)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(II)当a0时,讨论函数f(x)的单调性;(III)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,+),且x1x2,都有恒成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.选考题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【答案】 （山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）(本小题满分12分)已知函数,.(1)设函数,求函数的单调区间; (2)是否存在实数,使得方程在区间内
24、有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】解 ()把方程整理为, 即为方程 设 ,原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点 令,因为,解得或(舍) 当时, , 是减函数;当时, ,是增函数 在()内有且只有两个不相等的零点, 只需 即 解得, 所以的取值范围是() . （河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数(为常数,).(1)当时,求函数的单调区间;(2)若对任意的,总存在,使不等式成立,求实数的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分
25、.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【答案】解:()当,定义域为, , , 函数的单调递增区间为,;单调递减区间为 (), ,即,来源:学.科.网Z.X.X.K 在上增, ,总存在,使不等式成立, 只需即可, 问题等价于不等式恒成立 方法1:令, 则 由于,要使, 必存在,使得在上单调递增, (若不然不会恒成立),可得, 又当时,令,其对称轴,来源:学*科*网 由于,上, 在上单调递增, ,即, 于是时, 总存在,使不等式成立 当时,由于,必存在, 从而,在上单调递减, ,与矛盾. 所以 (法二),设,. , 设, 在上增,又,即, 在上单调递增 又, （内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知.(1) 求函数在上的最小值;(2) 对一切,恒成立,求实数a的取值范围;(3) 证明:对一切,都有成立.【答案】解: (1) ,当,单调递减,当,单调递增. ,t无解; ,即时,; ,即时,在上单调递增,; 所以. (2) ,则, 设,则,单调递减,单调递增,所以. 因为对一切,恒成立,所以. (3) 问题等价于证明,由可知的 最小值是,当且仅当时取到. 设,则,易得,当且仅当时取到,从而对一切,都有成立.