1、专题十三 数列通项及求和 专题十四 等差、等比数列的性质 专题十五 数列中的等量关系 专题十六 数列中的不等关系 第三单元 数列第三单元 数列 知识网络构建第三单元 知识网络构建 考情分析预测第三单元 考情分析预测 考向预测回顾 20082011 年的高考题中，数列作为有 2 个 C 级要求的章节，是每一年必考的其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题在解答题中主要考查等差，等比数列的性质论证问题，只有 2009 年难度为中档题，其余三年皆为难题预计在 2012 年的高考题中，数列的考查变化不大：(1)填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质(2)在解答题中，依然是考查等差、等比
2、数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证第三单元 考情分析预测 备考策略数列问题历来是江苏卷压轴题的必考内容，解答题中难度很大，填空题基本上为基础题，所以在今后的复习中需要关注以下几点：1等差、等比数列的基本量的求解2等差、等比数列的性质如等差(比)中项3多采取从特殊到一般研究问题的角度4恒等问题和不等关系基本论证的训练第三单元 考情分析预测 专题十三 数列的通项及求和 专题十三 数列通项及求和 主干知识整合专题十三 主干知识整合 1数列通项求解的方法(1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：叠加法；叠乘法；转化法(3)不完全归纳法即从特殊到一般的归纳法；(4)用 anS1n
3、1SnSn1n2 求解2数列求和的基本方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法要点热点探究专题十三 要点热点探究 探究点一 公式法如果所给数列满足等差或者等比数列的定义，则可以求出 a1，d 或 q 后，直接代入公式求出 an 或 Sn.专题十三 要点热点探究 例 1(1)已知正数数列an对任意 p，qN*，都有 apqapaq，若 a24，则 an_.,(2)数列an为正项等比数列，若 a21，且 anan16an1(nN，n2)，则此数列的前 n 项和 Sn_.专题十三 要点热点探究(1)2n(2)2n112【解析】(1)由 apqapaq，a
4、24，可得 a2a214a12，所以 ap1apa1，即ap1ap a12，即数列an为等比数列，所以 ana1qn122n12n.(2)设等比数列的公比为 q，由 anan16an1 知，当 n2 时，a2a36a1.再由数列an为正项等比数列，a21，得 1q6q，化简得 q2q60，解得 q3 或 q2.q0，q2，a112，Sn1212n12 2n112.专题十三 要点热点探究【点评】这两题都是由“apqapaq”和“anan16an1”推出其他条件来确定基本量，不过第(1)小问中首先要确定该数列的特征，而第(2)小问已经明确是等比数列，代入公式列方程求解即可专题十三 要点热点探究 已
5、知an是等差数列，a1010，前 10 项和 S1070，则其公差 d_.23【解析】方法一：因为 S1070，所以10a1a10270，即 a1a1014.又 a1010，所以 a14，故 9d1046，所以 d23.方法二：由题意得a19d10，10a145d70，解得a14，d23.专题十三 要点热点探究 探究点二 根据递推关系式求通项公式如果所给数列递推关系式，不可以用叠加法或叠乘法，在填空题中可以用不完全归纳法进行研究例 2 (1)已知数列an满足 a12，an15an133an7(nN*)，则数列an的前 100 项的和为_(2)已知数列an，bn满足 a11，a22，b12，且对
6、任意的正整数 i，j，k，l，当 ijkl 时，都有 aibjakbl，则 12010 i12010(aibi)的值是_ 专题十三 要点热点探究(1)200(2)2012【解析】(1)由 a12，an15an133an7(nN*)得a25213327 3，a35313337 1，a45113317 2，则an是周期为 3 的数列，所以 S100(231)332200.(2)由题意得 a11，a22，a33，a44，a55；b12，b23，b34，b45，b56.归纳得 ann，bnn1；设 cnanbn，cnanbnnn12n1，则数列cn是首项为 c13，公差为 2 的等差数列，问题转化为求
7、数列cn的前 2010 项和的平均数所以 12010 i12010(aibi)1201020103402122012.专题十三 要点热点探究【点评】根据数列的递推关系求数列的通项，除了常规的方法外，还可以用不完全归纳法进行研究，如数列周期性的研究专题十三 要点热点探究 探究点三 数阵问题数阵问题主要指的是不仅仅是将数排成一列的数列，而是既有行的排列也有列的排列的数字规律变换的研究例 3所有正奇数如下数表排列(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍)：第一行 1第二行 3 5第三行 7 9 11 13则第 6 行中的第 3 个数是_专题十三 要点热点探究 67【解析】先计算第六行第三
8、个数为正奇数排列的第几个数，由 124816334 得所求的数为第 34 个，所以 234167.【点评】数阵问题中第 m 行的第 n 个数的研究，需要分两步研究，第一步研究每一行的数变换规律，第二步再研究列的变换规律本题实为将一个等差数列分成了若干部分进行研究专题十三 要点热点探究 下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，(an，bn，cn)(1)请写出 cn 的一个表达式，cn_；(2)若数列cn的前 n 项和为 Mn，则 M10_.(用数字作答)专题十三 要点热点探究 cnn2n 2101【解析】由 1,
9、2,3,4,5，猜想 ann；由2,4,8,16,32，猜想 bn2n；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想 cnn2n.从而 M10(1210)(222210)10101222101212101.专题十三 要点热点探究 探究点四 数列的特殊求和方法数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握，其中通项公式anbn的特征为an是等差数列，bn是等比数列例 4在各项均为正数的等比数列an中，已知 a22a13，且 3a2，a4,5a3 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog3an，求数列anbn的前 n 项和 Sn.专题十三 要点热点探究【解答】(1)设an公比为 q，由题
10、意得 q0，且a22a13，3a25a32a4，即a1q23，2q25q30，解得a13，q3或a165，q12(舍去)，所以数列an的通项公式为 an33n13n，nN*.(2)由(1)可得 bnlog3ann，所以 anbnn3n.所以 Sn13232333n3n，3Sn132233334n3n1.得，2Sn3(32333n)n3n1(332333n)n3n1，313n13 n3n132(13n)n3n132n12 3n1.所以数列anbn的前 n 项和为 Sn342n143n1.专题十三 要点热点探究【点评】本题考查等差数列、等比数列的基础知识，第(1)问求数列的通项公式，主要是用解方程
11、组的方法求出首项和公比，注意取舍；第(2)问，求数列的前 n 项和，主要考查错位相减法错位相减时要注意各项的位置要错开，还要注意 2Sn 的左边的系数要处理后，才算求出 Sn，最后还需要用 n1,2 进行检验规律技巧提炼专题十三 规律技巧提炼 1数列通项公式的研究主要是研究相邻项之间的关系，江苏卷对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量的求解2数列求和问题中特殊求和方法在江苏卷的考查也不多，主要还是利用公式法求数列的前 n 项和，再论证和的性质，故不过多涉及求和的技巧以及项的变形专题十三 江苏真题剖析 例 2008江苏
12、卷 将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15按照以上排列的规律，第 n 行(n3)从左向右的第 3 个数为_ 江苏真题剖析【分析】本题考查了推理能力，但其本质为分组求和数阵问题中的某一项的求解，需要先求行的规律，再求列的规律【答案】n2n62【解析】前 n1 行共有正整数 12(n1)个，即n2n2个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第n2n23个，即为n2n62.专题十三 江苏真题剖析 2010江苏卷 函数 yx2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak1，k 为正整数，a116，则 a1a3a5_.专题十三 江苏真题剖析 21【解析】本题考查了导数的几何意义，该知识点在高考考纲中为 B 级要求函数 yx2(x0)在点(16,256)处的切线方程为 y25632(x16)令 y0 得 a28；同理函数 yx2(x0)在点(8,64)处的切线方程为 y6416(x8)，令 y0 得 a34；依次同理求得 a42，a51.所以 a1a3a521.