1、 数 学N单元 选修4系列 152014广东卷 (几何证明选讲选做题)如图13所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_图13159152014湖北卷 (选修41：几何证明选讲)如图13，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交O于C，D两点，若QC1，CD3，则PB_图13154122014湖南卷 如图13所示，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB，BC2，则O的半径等于_图1312.222014辽宁卷 选修41：几何证明选讲如图17所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上点且PGPD，连接DG并延长
2、交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.图1722证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA，又因为PGDEGA，所以DBAEGA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.又AFEP，所以PFA90，所以BDA90，故AB为圆的直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而得RtBDARtACB，于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.因为ABEP，所以DCEP，DCE为直角，所以ED为直径，又由(
3、1)知AB为圆的直径，所以EDAB.222014新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图16，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.图16(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形22证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD，所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形222014新课
4、标全国卷 选修41：几何证明选讲如图14，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E，证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.图1422证明：(1)连接AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而BEEC.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.152014陕西卷 图13B(几何证明选做题)如图13，ABC中，BC6，以BC为直
5、径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_15 B3 62014天津卷 图12如图12所示，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A B C D6D142014重庆卷 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，则AB_144212014福建卷 ()选修42：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵(1)求矩阵A；(2)求矩阵A1的特征值以及属于每
6、个特征值的一个特征向量21. ()解：(1)因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵，且221130，所以A .(2)矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3)，令f()0，得矩阵A1的特征值为11或23，所以1)是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量，2)是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量132014天津卷 在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点若AOB是等边三角形，则a的值为_13342014安徽卷 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则
7、直线l被圆C截得的弦长为()A. B2C. D24D32014北京卷 曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上 B在直线y2x上C在直线yx1上 D在直线yx1上3B21 2014福建卷 ()选修44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围21. ()解：(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.142014广东卷 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1和C2的
8、方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_14(1，1) 162014湖北卷 (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，则C1与C2交点的直角坐标为_16.112014湖南卷 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(为参数)交于A，B两点，且|AB|2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_11cos sin 1112014江西卷 (2)(坐标系与参数
9、方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，011(2)A232014辽宁卷 选修44：坐标系与参数方程将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程23解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由xy1得x21，即曲线C的方程为x21.
10、故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.232014新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值23解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离d|4cos 3sin 6|，则|PA|5
11、sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.232014新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标23解：(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在
12、点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为，即.152014陕西卷 C(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线sin1的距离是_15C1自选模块22014浙江卷 (1)在极坐标系Ox中，设集合A(，)|0，0cos ，求集合A所表示区域的面积；(2)在直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，曲线C：(为参数)，其中a0.若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围解：(1)在cos 两边同乘，得2cos .化成直角坐标方程，得x2y2x，即y2.所以集合A所表示的区域为：由射线yx(x0)，y0(x0)，圆y2所围成的区域，如图所示的阴影
13、部分，所求面积为.(2)由题意知，直线l的普通方程为xy40.因为曲线C上所有点均在直线l的右下方，故对R，有acos 2sin 40恒成立，即cos()4恒成立，所以4.又a0，得0a2 .152014重庆卷 已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0，02)，则直线l与曲线C的公共点的极径_15. 212014福建卷 ()选修45：不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.21. ()解：(1)因为
14、|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，又p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.8、2014广东卷 设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60 B90 C120 D1308D92014广东卷 不等式|x1|x2|5的解集为_9(，32，) 132014湖南卷 若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_133112014江
15、西卷 (1)(不等式选做题)对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1 B2 C3 D411(1)C242014辽宁卷 选修45：不等式选讲设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.24解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x0，b0，且.(1)求a3b3的最小值(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由.24.解：(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b324 ，当且仅当ab 时等号
16、成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使2a3b6.242014新课标全国卷 选修45：不等式选讲设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围24解：(1)证明：由a0，有f(x)|xa|a2，所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得a3.综上，a的取值范围是.152014陕西卷 A(不等式选做题)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_15A.自选模块12014浙江卷 (1)解不等式2|x2|x1|3；(2)设正数a，b，c满足abcabc，求证：ab4bc9ac36，并给出等号成立条件解：(1)当x1时，2(2x)(x1)3，得x2，此时x1；当1x2时，2(2x)(x1)3，得x0，此时1x2时，2(x2)(x1)3，得x8，此时x8.综上所述，原不等式的解集是(，0)(8，)(2)证明：由abcabc，得1.由柯西不等式，得(ab4bc9ac)(123)2，所以ab4bc9ac36，当且仅当a2，b3，c1时，等号成立162014重庆卷 若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_16.