1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时对数函数及其性质的应用1.了解函数图象的变换2.理解对数函数的图象和性质3.掌握对数函数性质的应用 学生用书P551对数型复合函数的单调性(1)对于形如ylogag(x)(a0且a1)的一类函数的单调性，在定义域上，当a1时，与函数yg(x)的单调性相同，当0a1时，则相反(2)判断复合函数的单调性可以借助图象来判断(3)求复合函数单调区间的步骤：求定义域；分解成ylogau，ug(x)两个函数；求u的单调区间(注意定义域)，并判断ylogau的单调性；利用同一区间上“同增异减”得出结论2对数型复合函数的定义域、值域由图可知对数函数ylogax的定义域为
2、(0，)，值域为R，反过来，要使函数ylogax的值域为R，由图可知，x必须取遍(0，)内所有的值(一个也不能少)因此，(1)若yloga(x)的定义域为R，则对于任意实数x恒有(x)0，特别是当(x)a1x2bxc(a10)时，要使yloga(x)的定义域为R，则有a10，且0.(2)若已知yloga(x)的值域为R，则(x)必须取遍(0，)内的所有值(一个也不能少)，则对于函数t(x)而言，必须有t(x)的值域包含(0，)(此时yloga(x)的定义域一般包含于t(x)的定义域之中)反之，若(x)m(m0)，则当a1时，有yloga(x)logam；当0a1时，有yloga(x)logam
3、，因此其值域一定不为R.特别地当(x)a1x2bxc(a10)，要使yloga(x)的值域为R，则有a10，且0，同时(x)0.1判断(正确的打“”，错误的打“”)关于函数f(x)log的判断有如下说法：(1)在R上是增函数()(2)是奇函数()(3)值域为R.()(4)在区间上是减函数()答案：(1)(2)(3)(4)2函数y2log2x(x1)的值域为_解析：因为x1，所以log2x0，所以y2log2x2.答案：2，)3若0x1，则logx3_logy3.(填“”“”或“”)解析：因为0x1，所以logx31，所以logy30，所以logx3logy3.答案：4不等式log3(1x)lo
4、g3(x2)的解集是_解析：原不等式等价于解得2x.答案：与对数函数有关的图象变换学生用书P55根据表格回答下面的问题.x y1248ylog2x3210123y|log2x|3210123(1)比较函数ylog2x，y|log2x|的函数值之间的关系，从中你发现了什么规律？(2)在同一坐标系中作出函数ylog2x，y|log2x|的图象，并比较这两个图象之间的关系；(3)通过上述两个问题，你发现函数yf(x)与y|f(x)|的函数值之间、图象之间有什么关系？【解】(1)当x1，2，4，8时，函数ylog2x与y|log2x|的函数值对应相等；当x，时，函数ylog2x与y|log2x|的函数
5、值互为相反数(2)在同一坐标系中作出函数ylog2x，y|log2x|的图象，如图所示，函数y|log2x|的图象可以看作将ylog2x的图象在x轴上方(包括在x轴上的点)的部分保持不变，而将x轴下方的部分作关于x轴的对称变换而得到(3)当xa时，若f(a)0，则两个函数的函数值都为f(a)；若f(a)0且a1)恒过定点并求出试说明该函数是函数ylogax经过怎样的变换得到的？解：因为ylogax的图象恒过定点(1，0)，所以yloga(x1)的图象恒过定点(2，0)，它是由ylogax的图象向右平移1个单位得到的又因为yloga(x1)3的图象是由yloga(x1)的图象向上平移3个单位得到
6、的，即函数的图象恒过定点(2，3)对数型复合函数的单调性学生用书P56求函数ylog(1x2)的单调增区间，并求函数的最小值【解】要使ylog(1x2)有意义，则1x20，所以x21，则1x1，因此函数的定义域为(1，1)令t1x2，x(1，1)x(1，0时，x增大，t增大，ylogt减小，所以x(1，0时，ylog(1x2)是减函数；当x0，1)时，ylog(1x2)是增函数故函数ylog(1x2)的单调增区间为0，1)，且函数的最小值yminlog(102)0. 求形如ylogaf(x)函数的单调区间的步骤(1)求出函数的定义域； (2)研究函数tf(x)和函数ylogat在定义域上的单调
7、性；(3)判断出函数的增减性求出单调区间2.求函数ylog(6x2x2)的单调增区间解：由6x2x220，即函数定义域是R.令u(x)2x2x6，则函数u(x)2x2x6的单调增区间为，单调减区间为.又因为ylogu在(0，)上是减函数，所以函数ylog(6x2x2)的单调增区间为.对数函数性质的综合学生用书P56已知f(x)2log3x，x1，9，求yf(x)2f(x2)的最大值及y取得最大值时x的值【解】因为f(x)2log3x，所以yf(x)2f(x2)(2log3x)22log3x2logx6log3x6(log3x3)23.因为f(x)的定义域是1，9，所以函数yf(x)2f(x2)
8、有意义，必须所以1x3，所以0log3x1，所以6(log3x3)2313.所以当log3x1即x3时ymax13.综上可知，函数yf(x)2f(x2)的最大值是13，相应的x值是3. 本题综合考查了对数函数、对数运算、对数型复合函数定义域及闭区间上二次函数求最值问题常见错误是忽视已知函数定义域的限制条件，误认为yf(x)2f(x2) 的定义域也是1，9 3.已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)(a0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明解：(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，则解得1x1，故所求定义域为(1，1)(2)f(x)为奇函数，
9、证明如下：由(1)知f(x)的定义域为(1，1)，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)为奇函数1函数ylogaf(x)可看作是ylogat与tf(x)两个简单函数复合而成的，则由复合函数的判断法则同增异减知：当a1时，若tf(x)为增函数，则ylogaf(x)为增函数，若f(x)为减函数，则ylogaf(x)为减函数；当0a1时，若tf(x)为增函数，则ylogaf(x)为减函数，若tf(x)为减函数，则ylogaf(x)为增函数2解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数
10、运算解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路若函数f(x)loga(2ax)在区间0，1上单调递减，求实数a的取值范围解因为a0，a1，所以y2ax是减函数又因为f(x)loga(2ax)是减函数，所以对数函数ylogax必是增函数，得a1.又由2ax0，得x，由题意，得0，1，所以1，即a0，a1，故y2ax是减函数，从而由已知得ylogax为增函数，故a的取值范围是(1，)此解法忽视了单调区间必是函数定义域的子区间，造成了解题的失误(2)防范：对于复合函数，外函数为对数函数的情况，研究问题
11、时不仅要注意复合函数单调性的问题，还要注意内函数满足为真数的要求，如ylogaf(x)，必须满足f(x)0.1函数yloga(2x)是x的增函数，则a的取值范围是_解析：u2x是x的减函数，故ylogau为u的减函数，所以0a1.答案：(0，1)2函数y1log2(x1)(0x3)的值域是_解析：y1log2(x1)在区间(0，3上为增函数，所以值域为(1，3答案：(1，33若函数f(x)axloga(x1)在0，1上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于_解析：当0a1时，因为yax在0，1上为减函数，yloga(x1)在0，1上也是减函数，所以f(x)在0，1上为减函数，所以f(x)max
12、f(0)1，f(x)minf(1)aloga2，于是1aloga2a，解得a；同理，当a1时，f(x)在0，1上为增函数，所以f(x)maxf(1)aloga2，f(x)minf(0)1，于是1aloga2a，解得a，与a1矛盾综上，a.答案：4函数f(x)log2(3ax)在(，1)上是减函数，则a的取值范围是_解析：因为f(x)log2(3ax)在(，1)上是减函数，又因为ylog2u是增函数，所以u3ax在(，1)上是减函数，由已知，解得1a3.答案：(1，3学生用书P114(单独成册)A基础达标1若loga2logb20，则下列结论正确的是()A0ab1B0ba1Cab1 Dba1解析
13、：选B.因为loga20，logb20，所以0a1，0b1，又loga2logb2，所以ab，故0ba1.2函数f(x)|logx|的单调递增区间是()A. B(0，1C(0，) D1，)解析：选D.f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为1，)3函数ylog(13x)的值域为()A(，) B(，0)C(0，) D(1，)解析：选C.因为3x0，所以3x0，所以13x1.又ylogt(t13x)是关于t的减函数所以ylogtlog10.选C.4函数yf(x)lg的图象的对称性为()A关于直线yx对称 B关于x轴对称C关于y轴对称 D关于原点对称解析：选D.因为yf(x)lglg，所以f
14、(x)lglgf(x)，又因为函数的定义域为(1，1)，关于原点对称，则函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称若lg(2x4)1，则x的取值范围是_解析：由lg(2x4)1得lg(2x4)lg 10，所以02x410，解之得2x7.答案：(2，76函数f(x)logax(0a1)在a2，a上的最大值是_解析：因为0a1，所以f(x)logax在a2，a上是减函数，所以f(x)maxf(a2)logaa22.答案：27已知函数f(x)lg(2xb)(x1)的值域是0，)，则b的值为_解析：因为x1，所以f(x)lg(2b)又因为f(x)0，lg(2b)0，即b1.答案：18设a1，函数f(x)l
15、ogax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a_解析：因为a1，所以f(x)logax在a，2a上递增，所以loga(2a)logaa，即loga2，所以a2，a4.答案：49根据下列条件，分别求实数x的值：(1)log2(2x)log2(x1)1；(2)32x16x22x2.解：(1)原方程可化为log2(2x)log22(x1)，得2x2(x1)，解得x.经检验知，原方程的解为x.(2)原方程可化为332x2x3x422x0，因式分解得(33x42x)(3x2x)0，则33x42x0，即，解得xlog.10已知f(x)loga(aax)(a1)(1)求f(x)的定义域和值域；(2)判
16、断并证明f(x)的单调性解：(1)由a1，aax0，即aax，得x1.故f(x)的定义域为(，1)由0aaxa，可知loga(aax)logaa1.故函数f(x)的值域为(，1)(2)f(x)在(，1)上为减函数，证明如下：任取1x1x2，因为a1，所以ax1ax2，所以aax1aax2，所以loga(aax1)loga(aax2)，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(，1)上为减函数B能力提升若函数f(x)loga(2x1)(a0，且a1)在区间内恒有f(x)0，则a的取值范围是_解析：函数f(x)loga(2x1)的定义域为，当x时，2x1(0，1)，由题意知0a1.答案：0a1，则a应
17、满足的条件是_解析：若0a1，当x2时，logax0，所以logax1，由题意loga21，当x2时，logax0，所以logax1.由题意loga21，所以a(1，2)综上可知a1或1a2.答案：a1或1a2求下列函数的值域(1)ylog2(x24x6)；(2)ylog2；(3)ylog2(x24x5)解：(1)因为x24x6(x2)222，又f(x)log2x在(0，)上是增函数，所以log2(x24x6)log221.所以函数的值域是1，)(2)因为x22x2(x1)233，所以0(舍)或.因为真数大于0，f(x)log2x在(0，)上是增函数，所以log2log2.所以函数的值域是.(3)因为x24x5(x2)299，所以x24x5能取得所有正实数所以函数ylog2(x24x5)的值域是R.4(选做题)设函数f(x)(1)当a时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)是(，)上的减函数，求实数a的取值范围解：(1)当a时，f(x)当x1时，f(x)x23x是减函数，所以f(x)f(1)2；当x1时，f(x)logx是减函数，所以f(x)f(1)0，综上，函数f(x)的值域是R.(2)若函数f(x)是(，)上的减函数，则解得a，故a的取值范围是.高考资源网版权所有，侵权必究！