1、第21讲 函数与方程思想和数形结合思想 第22讲 分类与整合思想和转化与化归思想 专题七 数学思想方法专题七 数学思想方法知识网络构建专题七 知识网络构建 考情分析预测专题七 考情分析预测 考向预测 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须与数学知识相结合，高考命题是通过数学知识的考查，来反映对数学思想方法的理解和掌握程度四种数学思想方法是每年高考的必考内容，是高考考查的重点，各种题型都有，难度中等偏上(1)与函数和方程思想有关的常见题型有：与不等式、方程有关的最值问题；建立目标函数，求最值或最优解问题；在含有多个变量的问题中，选择合适的自变量构造函数解题；
2、实际应用问题，建立函数关系，利用函数性质、导数、不等式性质等知识解答；利用函数思想解决数列中的问题(2)与数形结合思想有关的常见题型：集合间关系利用韦恩图求解；以数学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合题，如截距、斜率、距离、导数的几何意义，借助图象求解专题七 考情分析预测 (3)与分类与整合思想有关的常见题型：含有参数的函数性质问题、交点问题；对由数学概念引起的分类讨论问题，如对指数函数、对数函数的底数的讨论，对一元二次不等式的二次项系数的讨论；由公式定理引起的讨论问题，如绝对值、等比数列前 n 项和的计算问题(4)与转化与化归思想有关的常见题型：未知转化为已知(复杂转化为简单)；
3、函数与方程的相互转化；正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则；空间与平面的相互转化；常量与变量的转化；数与形的转化；相等与不等的相互转化；实际问题与数学模型的转化 专题七 考情分析预测 备考策略 二轮复习时，要有效地掌握以下几个方面：数学思想与方法是通过数学知识体现的，在复习中，要养成利用数学思想分析问题、思考问题、解答问题的习惯意识(1)对于函数与方程思想，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键(2)数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结合起来，即将代数问题几何化，几何问题代数化在运用数形结合思
4、想分析问题时，要注意三点：理解一些概念与运算法则的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义，又分析其代数意义；恰当设参、合理用参，建立关系，由形思数，以数想形，做好数形转化；确定参数的取值范围，参数的范围决定图形的范围 专题七 考情分析预测 (3)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略利用好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度复习中要养成分类与整合的习惯，常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形变动型(4)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法，它无处不在比如：解不等式时，将分式不等式转化为整式不等式
5、来求解；处理立体几何问题时，将空间的问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题；复数问题化归为实数问题等 专题七 近年高考纵览 专题七 近年高考纵览 第21讲 函数与方程思想和数形结合思想 第21讲 函数与方程思想 和数形结合思想 主干知识整合第21讲 主干知识整合 1函数与方程思想在解题应用中主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是通过建立函数关系式或构造中间函数把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的数列是一种特殊的函数，它的通项或前 n 项和都是自变
6、量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；函数 f(x)(axb)n(nN*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；解析几何的许多问题，如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论；立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 第21讲 主干知识整合 2数形结合的思想方法就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过“以形助数，以数析形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为
7、形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合使用数形结合的方法，很多问题能够迎刃而解，且解法简捷数形结合思想方法的应用十分广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，运用数形结合思想，不仅直观，易发现解题途径，而且能够避免复杂的数学计算与推理，大大简化解题过程数形结合的重点是“以形助数”，在解选择题、填空题中更显其优越性 例 1 2011福建卷 已知函数 f(x)exx.对于曲线 yf(x)上横坐标成等差数列的三个点 A、B、C，给出以下判断：ABC 一定是钝角三角形；ABC 可能是直角三角形；ABC 可能是等腰三角形；ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是()AB
8、CD要点热点探究第21讲 要点热点探究 探究点一 利用函数性质解题第21讲 要点热点探究 【分析】注意到函数 f(x)exx 是单调递增的函数，从分析函数的图象特征入手，画出大致图形，利用函数的相关性质，再去分析讨论ABC 的形状B【解析】解法一：(1)设 A、B、C 三点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1x20，f(x)在(，)上是增函数，f(x1)f(x2)f(x3)，且 fx1x32fx1fx32，BA(x1x2，f(x1)f(x2)，BC(x3x2，f(x3)f(x2)，BA BC(x1x2)(x3x2)(f(x1)f(x2)(f(x3)f(x2)0，ABC 为钝角，判断正确，错；第
9、21讲 要点热点探究 (2)若ABC 为等腰三角形，则只需 ABBC，即(x1x2)2(f(x1)f(x2)2(x3x2)2(f(x3)f(x2)2，x1，x2，x3 成等差数列，即 2x2x1x3，且 f(x1)f(x2)f(x3)，只需 f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)，即 2f(x2)f(x1)f(x3)，即 fx1x32fx1fx32，这与 fx1x32fx1fx32相矛盾，ABC 不可能是等腰三角形，判断错误，正确，故选 B.第21讲 要点热点探究 解法二：(1)设 A、B、C 三点的横坐标为 x1，x2，x3(x1x20，f(x)在(，)上是增函数，画出 f(x)的图象(大
10、致)f(x1)f(x2)f(x3)，且 fx1x32fx1fx32，第21讲 要点热点探究 如图，设直线 AB、BC 的倾斜角分别为 和，由 0kABkBC，得 2，故ABC()为钝角，判断正确，错误；由 x1，x2，x3 成等差数列，得 x2x1x3x2，若ABC 为等腰三角形，只需 ABBC，则f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)，由 0kAB0，且 a1)若 g(2)a，则 f(2)()A2B.154C.174Da2(2)函数 f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为()A.14B.12 C2D4第21讲 要点热点探究(1)B(2)B【解析】(
11、1)因为函数 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以由 f(x)g(x)axax2，得f(x)g(x)axax2，得 g(x)2，得 f(x)axax.又 g(2)a，所以 a2，所以 f(x)2x2x，所以 f(2)154.(2)函数 yax 与 yloga(x1)具有相同的单调性，函数 f(x)axloga(x1)在0,1上单调，则 f(0)f(1)a，即 a0loga1a1loga2a，化简得 loga21，解得 a12.第21讲 要点热点探究 探究点三 函数问题中的数形结合例 3 2011山东卷 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x
12、，则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为()A6B7C8D9B【解析】当 0 x2 时，f(x)x3xx(x21)0，所以当 0 x2 时，f(x)与 x 轴交点的横坐标为 x10，x21.当 2x4时，0 x22，则 f(x2)(x2)3(x2)，又周期为 2，所以f(x2)f(x)，所以 f(x)(x2)(x1)(x3)，所以当 2x4 时，f(x)与 x 轴交点的横坐标为 x32，x43；同理当 4x6 时，f(x)与 x 轴交点的横坐标分别为 x54，x65，x76，所以共有 7 个交点第21讲 要点热点探究【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性以及函数图象等知识
13、，体现了数形结合思想在解题中的应用熟记基本函数图象，熟练运用函数图象的变换，利用函数图象解题往往是解决函数问题的一条捷径第21讲 要点热点探究(1)2011重庆卷 下列区间中，函数 f(x)ln2x 在其上为增函数的是()A(，1 B.1，43C.0，32D1,2)(2)设 f(x)sin x 是0,1上的函数，且定义 f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，fn(x)f(fn1(x)，nN*，则满足 fn(x)1，x0,1的x 的个数是()A2nB2n2 C2n1D2(2n1)第21讲 要点热点探究(1)D (2)C 【解 析】(1)化 f(x)为 分 段 函 数，得 f(x)ln2x
14、，x1，ln2x，1x1.设函数 f(x)(x22)(xx2)，xR，若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是()A(，21，32B(，21，34C.1，14 14，D.1，34 14，探究点四 参数范围中的数形结合第21讲 要点热点探究【分析】首先读懂题设条件给出的新定义，得出函数关系式，再研究图象有交点时参数的取值范围B【解析】f(x)x22，x22xx2 1，xx2，x22xx2 1x22，1x32，xx2，x32，则 fx 的图象如下图yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，yf(x)与 yc 的图象恰有两个公共点，由图象知 c2，或1c34
15、.第21讲 要点热点探究【点评】本题考查创新定义、分段函数以及函数图象与 x 轴交点、图象平移等知识理解和处理新信息、灵活运用数形结合思想解题是本题的特色本题求解过程中将参数 c 与函数分离，将问题转化为研究分段函数 yf(x)的图象与直线 yc 的交点问题是常见的解题技巧第21讲 要点热点探究(1)2011北京卷 已知函数 f(x)2x，x2，x13，x2.若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是_(2)已知 g(x)mx2，f(x)x23x24x2，若对任意的 x11,2，总存在 x21,3，使得 g(x1)f(x2)，则 m 的取值范围是()A0B.12
16、，1 C.13，23D.12，1第21讲 要点热点探究 (1)(0,1)(2)B【解析】(1)函数 f(x)的图象如图所示：由上图可知 0k0 得 m22.设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，则y1y2 4mm22，y1y22m22，令 SOBESOBF，则|BE|BF|y1y2，代入2 可得 12 8m2m22(4,8)，解得 32 232 2且 1.又E 在 B，F 之间，32 20 得 0k212.设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1x2 8k22k21，x1x28k222k21，令 SOBESOBF，则 BEBF，由此可得BE BF，x12x22，且 01.第21讲 教师备用例题 由知(x12)(x22)412k2，(x12)(x22)x1x22(x1x2)4212k2，2整理得122k218，即 k241212.0k212，04121212，解得 32 232 2且 1.又01，32 21，OBE 与OBF 面积之比的取值范围是(32 2，1)