1、第3课时空间向量在立体几何中的应用(习题课)讲一讲1在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC2，AA16，若M，N分别是D1C1，BC的中点，求M，N之间的距离尝试解答以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则B(2，4，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，6)，C1(0，4，6)，于是M(0，2，6)，N(1，4，0)因此M，N之间的距离为dMN.用空间向量方法求两点间的距离或线段的长度，一般有以下两种方法：(1)建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，套用公式求解；(2)将线段或两点间对应的向量用基底表示出来，通过数量积，利用公式|a
2、|求解练一练1如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若|AB|1，|AC|2，|BD|3，求CD的长度讲一讲2在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD，EFAB，BAF90，AD2，ABAF2EF1，点P在棱DF上(1)求证：ADBF；(2)若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；(3)若二面角DAPC的余弦值为，求PF的长度尝试解答(1)证明：因为平面ABEF平面ABCD，平面ABEF平面ABCDAB，ADAB，所以AD平面ABEF，又BF平面ABEF，故ADBF.(2)因为BAF90，所以AFAB，
3、又ADAF，ADAB，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则B(1，0，0)，E，P，C(1，2，0)所以，所以异面直线BE与CP所成角的余弦值为.(3)因为AB平面ADF，所以平面ADF的一个法向量为n1(1，0，0)设点P的坐标为(0，22t，t)(由题意可知0t0)，则(3，1，h)，(1，1，h)AFCF，0，解得h2.则(3，1，2)，(1，1，2)，设平面ABF的法向量为n1(x1，y1，z1)，令z11，得x10，y12，n1(0，2，1)同理得平面 BCF的一个法向量为n2(2，0，1)|cosn1，n2|，平面
4、ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1AB，点E是棱AB上一点，且.(1)证明：D1EA1D；(2)是否存在，使得二面角D1ECD的平面角为？并说明理由解：(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，如图所示不妨设ADAA11，AB2，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)因为，所以E，于是，(1，0，1)，所以(1，0，1)1010，故D1EA1D.(2)因为DD1平面ABCD，所以平面DEC的一个
5、法向量为n(0，0，1)，设平面D1EC的法向量为n1(x，y，z)，又，(0，2，1)，整理得取y1，则n1.因为二面角D1ECD的平面角为，所以，即，解得1.故存在1，使得二面角D1ECD的平面角为.4如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABBC2AD4，点E，F，G分别是AB，CD，BC的中点，沿EF将四边形ADFE折起，使得平面ADFEBCFE，形成如图所示的多面体ABCDFE.(1)求证：BDEG；(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值解：(1)ADBC，BC2AD4，E，F分别是AB，CD的中点，ADEF，EFBC，EF3.ABC90，EFAE，EFBE，
6、EF平面AEB.平面ADFE平面BCFE，AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，E(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，(2，2，0)，(2，2，2)22220，BDEG.(2)由已知，得(2，0，0)是平面DEF的一个法向量设平面DEG的法向量为n(x，y，z)，设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为，则平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为.5在边长为3的正ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点
7、，且满足AECFCP1(如图1)将AEF沿EF折起到A1EF的位置，连接A1B，A1P(如图2)，使平面A1EF平面BPE.(1)求证：A1E平面BEP；(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小解：(1)在图1中，取BE的中点D，连接DF.AECF1，AFAD2，而A60，ADF是正三角形，又AEDE1，EFAD.在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1EFB的平面角由题设条件知，此二面角为直二面角，即A1EBE，A1E平面BEF，即A1E平面BEP.(2)分别以EB，EF，EA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A1(0，0，1)，B(2，0，0)，F
8、(0，0)，P(1，0)，则(0，0，1)，(2，0，1)，(1，0)设平面A1BP的法向量为n(x，y，z)，由n平面A1BP知，n，n，即令x，得y1，z2，则n(，1，2)，直线A1E与平面A1BP所成的角为30.6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，BAC60，A1A4，ABAC2.F为棱AA1上的动点，D是BC1上的点且BDDC1.(1)若DF平面ABC，求的值；(2)当的值为多少时，直线A1C1与平面BFC1所成角的正弦值为？解：(1)如图，以A为原点，BC边上的高所在直线为x轴，平行于BC的直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，A1A4，A1(0，0，4)，BAC60，ABAC2，B(，1，0)，C(，1，0)，C1(，1，4)，D是BC1上的点且BDDC1，D(，0，2)DF平面ABC，平面ABC的一个法向量为(0，0，1)，420，即，的值为1.设平面BFC1的法向量为n(x，y，z)，则令z，则n(4m2，2，)(，1，0)，直线A1C1与平面BFC1所成角的正弦值为，解得m，的值为.
