1、第19讲 排列、组合与二项式定理 第20讲 概率与统计 专题六 排列、组合与二 项式定理、概率与统计 专题六 排列、组合与二 项式定理、概率与统计 知识网络构建专题六 知识网络构建 考情分析预测专题六 考情分析预测 考向预测 排列、组合与二项式定理在高中数学所占的比重不大，但它们是高等数学的基础，能够很好地考查学生分析问题的能力，因此一直是高考的必考内容，一般在高考中以选择、填空题的形式出现，概率与统计主要考查的内容有：等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率及离散型随机变量的分布列、期望与方差等；统计知识则主要考查抽样
2、方法、频率分布直方图、正态分布等，主要以选择、填空题的形式出现，在高考中所占的比重大于 10%，一般会有一道选择题或填空题与一道解答题预计 2012 年高考对本部分知识的考查仍会延续往年的命题风格，主要考查以下几点：专题六 考情分析预测 (1)排列、组合数的计算及排列、组合的综合应用如：数字问题、人或物的排列问题、集合的子集个数问题、几何问题、选代表或选择样品问题等(2)二项式定理的应用，命题热点为：求展开式中字母系数、常数项、有理项等(3)对概率的考查重点为等可能性事件、相互独立事件和独立重复试验等(4)对统计方法的考查，如利用分层抽样方法计算有关数据，或者利用频率分布直方图进行数据分析，对
3、某一现象进行总体估计等问题将成为命题热点(5)考查离散型随机变量的期望与方差，预计仍会与求 的分布列一同命题(6)对正态分布的考查，命题热点是正态分布的特点以及根据正态分布的特点进行有关的概率计算，如已知正态分布变量在某个区间上的概率求其在另一区间上的概率等专题六 考情分析预测 备考策略 二轮复习时，以下几个方面是重中之重：(1)对于排列、组合知识的复习备考，主要是理解分类计数原理和分步计数原理的思想，掌握常见的排列组合问题的基本题型和求解方法，基本题型如相邻问题与相隔问题、几何问题与涂色问题等，求解方法如“捆绑法”、“插空法”等(2)对于二项式定理，主要是利用通项公式求展开式的特定项、研究二
4、项展开式的系数及相关计算等(3)对于随机事件的概率问题，复习时以理解基本题型为主，并注意与其他知识的综合，如等可能性事件概率的求解，常常与排列、组合知识以及互斥事件、对立事件形成联系(4)对于抽样方法、频率分布直方图的复习，主要是读懂命题给出的数据，并结合数据进行分析，如对总体进行估计等；正态分布问题，理解图形的对称性是解答已知正态分布变量在某个区间上的概率求其在另一区间上概率的主要方法(5)离散型随机变量的期望与方差问题，高考主要是考查实际应用问题，一般应先分析题意，明确欲求解的问题是期望还是方差，在此基础上将题中考查的数量指标用随机变量表示出来，把实际问题转化成随机变量的期望与方差问题求解
5、 专题六 近年高考纵览 第19讲 排列、组合与二项式定理 第19讲 排列、组合与 二项式定理 主干知识整合第19讲 主干知识整合 1排列、组合(1)对排列与组合定义的理解：排列的定义包含两个基本内容，一是“取出不同元素”；二是“按照一定顺序”，其中“一定顺序”表示与位置有关，这里的位置应该由具体问题的性质和条件来决定组合的定义也包含两个基本内容，一是“取出元素”；二是“并成一组”，其中“并成一组”表示与顺序无关(2)求解排列、组合的应用题，要善于“分析”“分辨”“分类”“分步”，从多角度考虑“分析”就是找出题目的条件、结论，找准解决问题的切入点：是从位置考虑还是从元素考虑；是从正面考虑还是从问
6、题的对立面考虑 第19讲 主干知识整合 “分辨”就是辨别是排列(与顺序有关)还是组合(与顺序无关)，对某些元素的位置有无限制等“分类”就是把较复杂的应用问题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决(这时常用分类计数原理)，要注意“类”与“类”之间的不重不漏“分步”就是将问题分为互相联系的几步，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决(这时常用分步计数原理)，要注意“步”与“步”之间的独立性、连续性整个解题过程遵循的基本原则是：“特殊优先”的原则，先“分类”后“分步”的原则，先“取”后“排”的原则 第19讲 主干知识整合 2二项式定理(1)二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一
7、是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值(既然对任意的实数 a，b 都成立，那么特殊的实数也一定成立，根据需要对 a，b 赋值)可以利用二项式定理解决一些特殊问题，如求所有项的系数和等(2)运用通项公式求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出 r，再求所需要的某项；有时需要先求 n，计算时要注意 n 和 r 的取值范围及它们之间的大小关系 例 1 2011北京卷 用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)要点热点探究第19讲 要点热点探究 探究点一 有限制条件的排列、组合问题【分析】先不考虑限制条件进行排列，然后再
8、除去不符合要求的排列数14【解析】若不考虑数字 2,3 至少都出现一次的限制，对个位，十位，百位，千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有 2416(个)四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有 16214(个)满足要求的四位数【点评】本题考查排列的基本知识及间接思考问题的解题方法，本题涉及“至多”、“至少”情形，可以考虑用间接法去解决一般地，对于排列组合问题的求解，主要是审题，弄清是排列问题还是组合问题，可以按元素的性质分类，按事件发生的过程分步对于有限制条件的问题，关键是理解关键字眼，如“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”，“至多”与“至少”等，常用方法有“先排特殊元素或
9、特殊位置”“捆绑法”“插空法”等第19讲 要点热点探究 第19讲 要点热点探究(1)一个五位的自然数 abcde，当且仅当它满足 abc，cde(如12430,13531 等)时称为“凸”数，则所有的五位数中“凸”数的个数是()A8568 B2142C2139D1134(2)世博会期间，某班有四名同学参加了志愿者工作将这四名同学分到 A、B、C 三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人，若甲要求不到 A 馆，则不同的分配方案有()A36 种B30 种C24 种D20 种(1)B(2)C【解析】(1)当 c3 时，a1，b2，a，b 的取法只有 C22种；d，e2,1,0，有 C23种取法，满足
10、条件的取法有 C22C233(种)同理，当 c4 时，满足条件的取法有 C23C2418(种)；当 c5 时，满足条件的取法有 C24C2560(种)；，所有的五位数中“凸”数的个数是 C22C23C23C24C24C25C25C26C26C27C27C28C28C293186015031558810082142(种)(2)甲有两种选择，剩下的 3 个人可以每个展馆都分一人，也可以在其他两个展馆中一个展馆分两人，一个展馆分一人，所以不同的分配方案有 C12(A33C23C12)24(种)第19讲 要点热点探究 第19讲 要点热点探究 探究点二 几何图形（或几何体）中的排列、组合问题例 2201
11、1湖北卷 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图 191 所示：图 191由此推断，当 n6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种(结果用数值表示)第19讲 要点热点探究【分析】理解题设条件中的着色方案，从特例中寻找染色的规则21 43【解析】(1)以黑色正方形的个数分类：若有 3 块黑色正方形，则有 C344(种)；若有 2 块黑色正方形，则有 C2510(种)；若有 1 块黑色正方形，则有 C166(种)；若无黑色正方形，则有 1 种所以共有 4106121(种)(2)
12、至少有 2 块黑色相邻包括：有 2 块黑色相邻，有 3 块黑色相邻，有 4 块黑色相邻，有 5 块黑色相邻，有 6 块黑色相邻等几种情况有 2 块黑色正方形相邻，有(C23C13)A24C1523(种)；有3 块黑色正方形相邻，有 C12A23C1412(种)；有 4 块黑色正方形相邻，有 C12C135(种)；有 5 块黑色正方形相邻，有 C122(种)；有 6 块黑色正方形相邻，有 1 种故共有 231252143(种)第19讲 要点热点探究【点评】本题以涂色问题为背景，考查学生的创新能力涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题通常没有固定的方法可循，只能
13、按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合知识灵活处理其难点是对相邻区域颜色不同的处理，破解的方法是根据乘法原理逐块涂色，同时考虑所用颜色的数目第19讲 要点热点探究 如图 192，一个地区分为 5 个行政区域，现给它们着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色若有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种(用数字作答)图 192第19讲 要点热点探究 72【解析】依题意，就这 5 个行政区域实际使用的颜色种数进行分类计数：第一类，当这 5 个行政区域实际使用的颜色种数是 3 时，满足题意的着色方法共有 C34A3324(种)(注：C34表示从所提供的 4 种颜色中选定 3 种颜色的方法数；
14、A33表示将所选定的 3 种颜色在相邻的 3 个区域进行实际着色的方法数，当这 3 个相邻区域的颜色确定后，另 2 个区域的颜色随之而定)；第二类，当这 5 个行政区域实际使用的颜色种数是 4 时，满足题意的着色方法共有 C34A33248(种)综上可得，满足题意的方法共有 244872(种)第19讲 要点热点探究 探究点三 二项式定理中的通项公式例 3 2011山东卷 若x ax26 展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为_【分析】根据二项展开式的通项公式，令 x 的幂指数等于零，即得对应的常数项4【解析】Tr1Cr6x6r ax2rCr6x6r(1)rar2x2rCr6x63r(1)r
15、ar2，由 63r0，得 r2,所以 C26a60，所以 a4.【点评】本题考查二项展开式的特定项常数项求二项展开式的特定项或特定项的系数是高考考查二项式定理的主要题型之一，解决这类问题的主要方法是用好二项展开式的通项公式和方程思想第19讲 要点热点探究(1)x1x5 的展开式中含 x3 的项的系数为_(2)若二项式3 tan2x1tan2xn 的展开式的第四项是209，而第三项的二项式系数是 15，则 x 的取值为()A.k3(kZ)Bk3(kZ)Ck3(kZ)Dk3(kZ)第19讲 要点热点探究(1)5(2)D【解析】(1)由二项展开式的通项公式，得Tr1Cr5x5r1xrCr5(1)rx
16、52r.依题意，令 52r3，则 r1，故含 x3 的项的系数为C155.(2)由展开式的第三项的二项式系数是 15，得 C2n15，即n2n300，求得 n6.又由展开式的第四项是209，得 C363 tan2x31tan2x3209，即 tanx 3，xk3(kZ)第19讲 要点热点探究 例 42011课标全国卷 xax 2x1x5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为()A40B20C20D40【分析】首先令 x1 得展开式系数之和，据此求出参数 a 的值，再由通项公式求指定的常数项D【解析】令 x1 得各项系数和为1a1(21)5(1a)2,a1，所以原式变为x1x 2x
17、1x5，2x1x5 展开式的通项为 Tr1Cr5(2x)r1x5r(1)5r2rCr5x2r5.令 2r51，得 r2；令 2r51，得 r3，所以常数项为(1)5222C25(1)5323C35(48)C2540.第19讲 要点热点探究【点评】本题求解的关键是根据系数和求出参数 a的值，进而求出展开式中的常数项求展开式中各项系数和也是高考中经常考查的问题，这些问题的难点是系数和的构成规律，只要弄清楚了这个构成规律就转化为对展开式中的字母进行特殊赋值的计算问题，而解决系数和问题的关键就是根据展开式的特点进行整体求解第19讲 要点热点探究(1)若(12x)2011a0a1xa2011x2011(
18、xR)，则a12 a222a201122011的值为_.(2)若多项式(1x)ma0a1xa2x2amxm 满足：a12a23a3mam80，则 limn 1a4 1a241a34 1an4 的值是()A.13B.15C.14D.16第19讲 要点热点探究(1)1(2)C【解析】(1)由题设知 a1C12011(2)122011，a2010C20102011(2)2010(2)20102011，则a12 2011，a2010220102011，即a12 a2010220100.同理可得a222a2009220090，a323a2008220080，.则a12 a222a201122011a20
19、1122011C2011201122011220111.(2)依题意得a01，m(1x)m1a12a2x3a3x2mamxm1，取 x1，得 m2m1a12a23a3mam80，因此有 m5.于是，二项式(1x)m(1x)5的展开式中含有x4项的系数是a4C455，所求的极限等于1511514.规律技巧提炼第19讲 规律技巧提炼 1排列问题常见的限制条件及对策：(1)有特殊元素或特殊位置，一般采用直接法，即优先考虑特殊元素或特殊位置；(2)相邻问题，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列；(3)元素不相邻排列，通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的
20、元素插在前面元素排列的空当中；(4)元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果 第19讲 规律技巧提炼 2组合问题的常见问题及对策：分组、分配问题，前者组与组之间只要元素个数相同；是不可区分的，而后者则即使元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的对于这类问题必须遵循先分组后排列的顺序进行3求二项展开式系数的和一般采用赋值法，即若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4f1f12，偶数项系数之和为 a1a3a5f1f12.因此，常把展开式中的变量赋值为 1或1 来求系数的和，有时候
21、还采用给变量赋值 0 的方法求常数项 第19讲 教师备用例题 教师备用例题选题理由：本专题在大纲版高考试题中近年来一直保持平稳状态，题型和难度基本没有太大的变化例 1 是数字排列问题中的排数模型；例 2 是组合问题中的分组模型，都属于基本题型，旨在培养学生总结归纳题型，解决问题的能力；例 3 是二项式定理中的系数问题，将二项展开式的系数与数列求和问题形成综合，培养学生转化能力第19讲 教师备用例题 例 1 形如 45132 的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数大，则由 1,2,3,4,5 可构成不重复的五位“波浪数”的个数为()A20 B18 C16 D11【解析】C
22、由题意可得，十位数和千位数只能是 4、5 或者 3、5.若十位数和千位数排 4、5，则其他位置任意排 1、2、3，这样的数有 A22A3312(个)；若十位数和千位数排 5、3，这时 4 只能排在 5 的一边且不能和其他数字相邻，1、2 在其余位置上任意排列，这样的数有 A22A224(个)综上，共有 16 个第19讲 教师备用例题 例 2 在送医下乡活动中，某医院安排 3 名男医生和 2 名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为()A78B114C108D.120【解析】B 五人分组有(1,1,3)，(1,2,2)两种分组方案
23、，方法数是C15C14C33A22C15C24C22A2225，故分配方案的总数是 25A33150(种)当仅两名女医生一组时，分组数是 C13，当两名女医生中还有一名男医生时，分组方法也是 C13，故两名女医生在一个医院的分配方案是 6A3336.符合要求的分配方法总数是 15036114(种)第19讲 教师备用例题 例 3 设 an 是(x 3)n 的 展 开 式 中 x 的 系 数，则 2011201032a233a332011a2011 _.【答案】18【解析】由题意，当 n2 时，anC2n3n2，于是3nan18nn1181n11n，则 20112010 32a233a332011a2011 2011201018112 1213 12010 12011 18.
