1、第2课时空间向量与空间角核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P103和P106的内容，回答下列问题(1)异面直线a，b的方向向量分别为a和b，若异面直线a和b所成的角为，则与a，b之间有什么关系？cos 与cosa，b有什么关系？提示：相等或互补cos_|cosa，b|.(2)观察教材P103图3.22(3)，若直线l和平面所成的角为，则直线的方向向量u与平面的法向量v的夹角u，v与有什么关系？提示：sin_|cosu，v|.3.如图(a)，(b)所示，平面，的法向量分别为u和v，若平面与所构成的角为，则与u，v有什么关系？提示：|cos_|cosu，v|.2归纳总结，核心必记空
2、间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos |cosa，b|直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cosa，n|续表角的分类向量求法范围二面角设二面角l的平面角为，平面，的法向量为n1，n2，则|cos |cosn1，n2|问题思考(1)当一条直线l与一个平面的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？提示：不一定，这条直线可能与平面平行(2)为什么求空间角的公式中都带有绝对值？提示：因为异面直线所成的角的范围是，斜线与平面所成的角的范围是，二面角的锐二面角的范围是，而两个向量的夹角
3、的范围是0，因此计算时加绝对值课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)如何用向量求异面直线所成的角？；(2)如何用向量求直线与平面所成的角？；(3)如何用向量求二面角的平面角？思考如何利用向量求两异面直线所成的角或所成角的余弦值？名师指津：利用公式cos_|cosa，b|，其中为异面直线所成的角，a、b分别是两异面直线的方向向量讲一讲1如图，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，且O1OB60，AOB90，OBOO12，OA，求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值尝试解答以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(，0，0)
4、，B(0，2，0)，A1(，1，)，O1(0，1，)，所以(，1，)，(，1，)设所求的角为，.即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为.用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角的取值范围是，两向量的夹角的取值范围是0，所以要注意二者的联系与区别，应有cos |cos |.练一练1如图所示，A1B1C1ABC是直三棱柱，ACB90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，求BD1与AF1所成角的余弦值解：如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设CBCACC11，则A(1，0
5、，0)，B(0，1，0)，D1，F1，则，(，1)，|，|，BD1与AF1所成角的余弦值为.思考1直线与平面所成角的范围是什么？名师指津：直线与平面所成角的范围是思考2如何利用空间向量求直线与平面所成的角？名师指津：利用sin_|cos_|求解，其中为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量的夹角讲一讲2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值尝试解答以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)，(1，
6、0，1)，(1，0，1)，(1，1，0)设平面A1BD的一个法向量为n(1，x，y)，直线BC1与平面A1BD所成的角为.n，n，n0，n0，解得平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)sin ，cos .故直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.利用平面法向量求线面角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量n.(4)计算：设线面角为，则.(5)由，求.练一练2正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角解：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，取
7、A1B1的中点M，则M(0，a)，连接AM，MC1，有，(0，a，0)，(0，0，a)MC1平面ABB1A1.C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角，设为.，02a2.又|a，|a，cos，30，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.法二：(0，0，a)，(0，a，0)设侧面ABB1A1的法向量n(，x，y)n0且n0，ax0且ay0，xy0，故n(，0，0)，sin |cos，n|.30.思考1如图，在二面角l中，AB，CD，ABl，CDl，则二面角l的平面角与向量与 所成的角有什么关系？名师指津：思考2如何利用平面的法向量求二面角的平面角？名师指津：利用公式|cos_|cosn1，
8、n2|，其中为二面角的平面角，向量n1和n2是构成二面角的两个半平面的法向量讲一讲3如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值尝试解答如图所示，取BC中点O，连接AO.因为ABC是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1中点为O1，以O为原点，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)设平面A1AD的法向量为n(x，y，z)，(1，1，)，(0，2，0)因为n，n，所
9、以令z1，得n(，0，1)为平面A1AD的一个法向量即AB1BD，AB1BA1，又BDBA1B，所以AB1平面A1BD，所以二面角AA1DB的余弦值为. (1)若AB，CD分别是两个平面，内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量的夹角如图所示 (2)向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角练一练3在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，PAAB，E是PD的中点，求：二面角EACD的大小解：如图，以A为原点，分别以AC、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间
10、直角坐标系设PAABa，ACb.连接BD与AC交于O，取AD中点F，连接OE，OF，EF，C(b，0，0)，B(0，a，0)，.D(b，a，0)，P(0，0，a)E，O，EOF为二面角EACD的平面角二面角EACD的大小为.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是利用空间向量求空间角，难点是二面角的求法2本节课要重点掌握的规律方法(1)利用向量求异面直线所成的角，见讲1；(2)利用向量求直线与平面所成的角，见讲2；(3)利用向量求二面角的平面角，见讲3.3利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其
11、次理清要求角和两个向量夹角之间的关系课时达标训练（二十） 即时达标对点练题组1异面直线所成的角1已知直线l1的一个方向向量为a(1，2，1)，直线l2的一个方向向量为b(2，2，0)，则两直线所成角的余弦值为()A1 B. C. D.解析：选Dcosa，b.2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值为()A0 B. C D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)所以(2，2，3)，(2，2，0)所以cos ，3如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CAC
12、C12CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A设CB1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，B(0，0，1)，(0，2，1)，(2，2，1)题组2直线与平面所成的角4若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60 C30 D以上均错解析：选Cl的方向向量与平面的法向量的夹角为120，它们所在直线的夹角为60，则直线l与平面所成的角为906030.5正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析：选D建系如图，设正方体棱长为1，D(0，0
13、，0)，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，则(0，0，1)B1D平面ACD1，(1，1，1)为平面ACD1的法向量设BB1与平面ACD1所成的角为，cos .6如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，ACBC，且ACBC.(1)求证：AM平面EBC；(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小解：四边形ACDE是正方形，EAAC，AMEC.平面ACDE平面ABC，EA平面ABC.可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设EAACBC2，则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)
14、，E(0，0，2)M是正方形ACDE的对角线的交点，M(0，1，1)AMEC，AMCB.又ECCBC，AM平面EBC.(2)AM平面EBC，为平面EBC的一个法向量(0，1，1)，(2，2，0)，直线AB与平面EBC所成的角为30.题组3二面角7如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面AC，若EA1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A120 B45C135 D60解析：选B以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)设平面BCE的法
15、向量为n(x，y，z)，则有可取n(1，0，1)又平面EAD的法向量为(1，0，0)，所以cosn，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45.8平面的法向量为(1，0，1)，平面的法向量为(0，1，1)，则平面与平面所成二面角的大小为_解析：设u(1，0，1)，v(0，1，1)与所成二面角的大小为.则cos |cos u，v|.或.答案：或9.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)证明：依题
16、意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依题意有B(1，0，1)，设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则因此可取n(0，1，2)可取m(1，1，1)，所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值为.能力提升综合练1在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，可知CB1C160，DC1D145，设B1
17、C11，CC1DD1.C1D1，则有B1(，0，0)，C(，1，)，C1(，1，0)，D(0，1，)2已知直角ABC中，C90，B30，AB4，D为AB的中点，沿中线将ACD折起使得AB，则二面角ACDB的大小为()A60 B90 C120 D150解析：选C取CD中点E，在平面BCD内过B点作BFCD，交CD延长线于F.据题意知AECD，AEBF，EF2，AB.3如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是面A1B1C1D1的中心，则BO到平面ABC1D1所成角的正弦值为_解析：建立坐标系如图，则B(1，1，0)，O，(1，0，1)是平面ABC1D1的一个法向量又，BO与平面ABC1D
18、1所成角的正弦值为答案：4四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADAB，ADABAA12BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点(1)求证：EF平面A1BC；(2)求直线EF与平面A1CD所成角的正弦值解：(1)证明：E，F分别是DD1，DA1的中点，EFA1D1.又A1D1B1C1BC，EFBC，且EF平面A1BC，BC平面A1BC，EF平面A1BC.(2)AB，AD，AA1两两垂直，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图，设BC1，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，C(2，1，0)
19、，D(0，2，0)，D1(0，2，2)，F(0，1，1)，E(0，2，1)，(0，1，0)，设平面A1CD的法向量n(x，y，z)，取n(1，2，2)，直线EF与平面A1CD所成角的正弦值等于.5在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值解：(1)证明：四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，ADCBCD120.又CBCD，CDB30.ADB90，即ADBD.又AEBD，且AEADA，AE平面AED，AD平面AED，BD平面AED.(2)由(1)知ADBD，A
20、CBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系不妨设CB1，则C(0，0，0)，B(0，1，0)，D，F(0，0，1)，因此，(0，1，1)设平面BDF的一个法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，即xy0，yz0，所以xyz.令z1，得m(，1，1)由于(0，0，1)是平面BDC的一个法向量，故二面角FBDC的余弦值为.6如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1. (1)求证：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)若E为棱P
21、A上的点，且异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长解：如图，以点A为原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由题意得A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2) (1)证明：易得(0，1，2)，(2，0，0)，于是0，所以PCAD.(2) (0，1，2)，(2，1，0)设平面PCD的法向量n(x，y，z)，不妨令z1，可得n(1，2，1)可取平面PAC的法向量m(1，0，0)于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角APCD的正弦值为.(3)设点E的坐标为(0，0，h)，其中h0，2.所以cos 30，解得h，即AE的长为.