1、不等式证明选讲(习题课)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1(2012年高考广东卷)不等式|x2|x|1的解集为_解析：利用零点分段讨论法解绝对值不等式当x2时，原不等式可化为x2x1，该不等式恒成立当2x0时，原不等式可化为x2x1，2x1，x，20的解集为_解析：根据绝对值的几何意义，去掉绝对值号后求解当x时，原不等式可化为12x2(x1)0，整理得30，无解当0，整理得4x10，即x，1时，原不等式可化为2x12(x1)0，整理得30.此时不等式的解集为x1.原不等式的解集为x|1x|x答案：x|x3(2012年高考山东卷
2、)若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_解析：利用绝对值不等式的解法求解|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案：24若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为_解析：43xb4，b43x4b，即x，仅有1，2，3，故5b7.答案：(5，7)5若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是_解析：由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以只需|a|3即可，所以a3或a3.答案：a3或a36若不等式|x|a2|1对一切非零实数x均成立，则实数a的最大值是_解析：令f(x)|x|，由题意只要求|a2|1f
3、(x)时a的最大值，而f(x)|x|x|2，|a2|12，解得1a3，故a的最大值是3.答案：37xy的最大值是_解析：xy1，最大值为1.答案：18(2012年高考陕西卷)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：利用绝对值不等式的性质求解|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2a49若不等式|2xm|3x6|恒成立，则实数m的取值范围为_解析：在同一直角坐标系中分别画出函数y|2xm|及y|3x6|的图象(如图)，由于不等式|2xm|3x6|恒成立，所以函数y|2xm|的图象在y|3x6|的图象的下方
4、，因此，函数y|2xm|的图象也必须经过点(2，0)，所以m4.答案：410已知|ab|c(a、b、cR)，给出下列不等式：abc；abc；|a|b|c；|a|b|c.其中一定成立的不等式是_(把所有成立的不等式的序号都填上)解析：|ab|c，cabc.bcabc.故成立，不成立|ab|c，|ab|a|b|，|a|b|c.|a|b|c.故成立，不成立答案：二、解答题(本大题共6小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11(8分)(2012年高考江苏卷)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.证明：因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设
5、知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f()，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.13(8分)(2012年唐山模拟)已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，bM时，证明：2|ab|4ab|.解析：(1)f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f(x)21时，由2x4，得1x2.所以M(2，2)(2)a，bM，即2a2，2b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|4ab|.14(8分)(
6、2012年高考福建卷)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.解析：(1)因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明：由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()()29.15(9分)已函数f(x)|x1|x3|.(1)作出函数yf(x)的图象；(2)若对任意xR，f(x)a23a恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)当x1时，f(x)x1x32x2；当1x3时，f(x)x13x4
7、；当x3时，f(x)x1x32x2.f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知f(x)的最小值为4，由题意可知a23a4，即a23a40，即(a4)(a1)0，解得1a4.故实数a的取值范围为1，416(9分)(2012年高考课标全国卷)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围解析：(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1x|x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1，2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3，0高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )