1、第4节单_摆1.在摆角小于5的情况下，单摆的自由振动是简谐运动。2单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。3单摆的回复力是由摆球的重力沿运动方向的分力提供，与摆球偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置。4荷兰物理学家惠更斯首先提出单摆的周期公式T2 ，利用周期公式可以测定当地的重力加速度。一、单摆组成要求细线摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线小球摆球看成是没有大小只有质量的质点单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，实验中尽量选择质量大、体积小的小球和尽量细不可伸长的线。二、单摆的回复力1回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分
2、力。2回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即Fx。3单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。三、单摆的周期1定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。(2)实验结论单摆振动的周期与摆球的质量无关。振幅较小时，周期与振幅无关。摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。2定量探究单摆的周期与摆长的关系(1)周期的测量：用停表测出单摆N(3050)次全振动的时间t，利用T计算它的周期。(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，利用ll0求出摆长。(3)数据处
3、理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出Tl、Tl2或T图像，得出结论。3周期公式(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。(2)公式：T2，即T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比。4周期公式的应用由单摆周期公式可得g，只要测出单摆的摆长l和周期T就可算出当地的重力加速度。1自主思考判一判(1)制作单摆的细线弹性越大越好。()(2)制作单摆的细线越短越好。()(3)制作单摆的摆球越大越好。()(4)单摆的周期与摆球的质量有关，质量越大，周期越小。()(5)单摆的回复力等于摆球所受合力。()2合作探究议一议(1)由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分
4、力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？提示：不是。摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T2决定，与摆球的质量无关。(2)多多观察，写出生活中你能遇到哪些单摆模型。提示：坐钟、牛顿摆、秋千等。 对单摆回复力及运动特征的理解1单摆的回复力图1141(1)单摆受力：如图1141所示，受细线拉力和重力作用。(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力Fmgsin 提供了使摆球振动的回复力。2单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sin ，又回复力Fmgs
5、in ，所以单摆的回复力为Fx(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合Fkx，单摆做简谐运动。1下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是()A单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力B单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力C单摆经过平衡位置时合力为零D单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力解析：选B单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D错误；单
6、摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误。2.一单摆做小角度摆动，其振动图像如图1142所示，以下说法正确的是()图1142At1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大Bt2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小Ct3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小Dt4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大解析：选D在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，A、C均错误；在t2时刻和t4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为零，故B错误，D正确。对单摆周期公式的理解1摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即lL，
7、L为摆线长，d为摆球直径。(2)等效摆长。图1143(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin ，这就是等效摆长，其周期T2 。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。图11432重力加速度g若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值。典例有一单摆，其摆长l1.02 m，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t60.8 s
8、，试求：(1)当地的重力加速度是多大？(2)如果将这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？思路点拨(1)单摆的周期T与t的关系：T。(2)秒摆的周期为2 s。解析(1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T2，由此可知g，只要求出T值代入即可。因为T s2.027 s，所以g m/s29.79 m/s2。(2)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：，故有：l0 m0.993 m。所以其摆长要缩短lll01.02 m0.993 m0.027 m。答案(1)9.79 m/s2(2)缩短0.027 m计算单摆的周期的两种方法计算单摆的周期有两种方法
9、，一是依据T2，二是根据T。第一种方法利用了单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长。第二种方法利用了粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t和N，但利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响。 1甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角甲乙(甲、乙都小于5)，在同一地点由静止开始同时释放，则()A甲先到达平衡位置B乙先到达平衡位置C甲、乙同时到达平衡位置 D无法判断解析：选C由单摆的周期公式T2，可知周期T与l、g有关，与质量、摆动的幅度无关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故同时释放，同时到达平衡位置。2一个单摆，在第一个行星上的周期为
10、T1，在第二个行星上的周期为T2，若这两个行星的质量之比为M1M241，半径之比R1R221，则()AT1T211 BT1T241CT1T221 DT1T212解析：选A单摆的周期公式为T2，同一单摆即有T，又据万有引力定律mgG，有g，因此T，故T1T211，故A正确。3.一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方0.19 l处有一钉子P(如图1144所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角T2BTT2CT1g月，故T2T2，A正确，B、C、D均错误。3.如图1所示，光滑糟的半径R远大于小球运动的弧长，今有两个小球(视为质点)同时由静止释放，其中甲球开始时离槽最低点O远些，则它们第一次相遇的地点
11、在()图1AO点BO点偏左CO点偏右 D无法确定，因为两小球质量关系未定解析：选A由于半径R远大于运动的弧长，所以小球做简谐运动，其周期都为T2，与位移的大小无关，故同时到达O点，A正确。4如图2是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，以向右的方向作为摆球偏离平衡位移的正方向，从t0时刻起，当甲第一次到达右方最大位移处时，乙在平衡位置的()图2A左方，向右运动B左方，向左运动C右方，向右运动D右方，向左运动解析：选D甲第一次到达右方最大位移处时，t1.5 s，此时乙的位移为正值，且正在减小，故乙此时在平衡位置右侧，且向左运动，D正确。5(多选)在用单摆测重力加速度的实验中，测得单摆偏角小于5，实验中
12、某学生所测g值偏大，其原因可能是()A实验室离海平面太高B摆球太重C测出n次全振动时间为t，误作为(n1)次全振动时间进行计算D以摆线长与摆球直径之和作为摆长来计算解析：选CD由单摆的周期公式T2，g值偏大，可能是周期算小了或是摆长算长了，选C、D。6.正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图3所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，
13、当地重力加速度g取2(m/s2)；根据以上数据可得小球运动的周期T_ s；房顶到窗上沿的高度h_m。图3解析：T3.0 s，T22 ，解得h3.0 m。答案：3.03.07某同学利用单摆测量重力加速度。(1)(多选)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是_。A组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图4所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约为1 m的单摆。实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一
14、标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离L。用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g_。图4解析：(1)组装单摆时，悬线应选用不易伸长的细线；摆球选择体积小、密度大的摆球；单摆摆动时在同一竖直面内摆动；摆的振幅尽量小一些。选项B、C正确。(2)设单摆的周期为T1时摆长为L1，周期为T2时摆长为L2则T12 T22 且L1L2L联立式得g。答案：(1)BC(2)8图5甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图像。根据图像回答：图5(1)单摆振动的频率是多大？(2)开始时刻摆球在何位置？(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少？解析：(1)由题图乙知周期T0.8 s则频率f1.25 Hz。(2)由题图乙知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时刻摆球在B点。(3)由T2得L0.16 m。答案：(1)1.25 Hz(2)B点(3)0.16 m
