1、学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力知识点一梳理本章的知识网络知识点二对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)递推公式an1andq中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这
2、时A叫做a与b的等差中项，并且A如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G通项公式ana1(n1)dana1qn1前n项和公式Snna1dq1时，Sn，q1时，Snna1性质am，an的关系aman(mn)dqmnm，n，s，tN*，mnstamanasatamanasatkn是等差数列，且knN*是等差数列是等比数列n2k1，kN*S2k1(2k1)aka1a2a2k1a判断方法利用定义an1an是同一常数是同一常数利用中项anan22an1anan2a利用通项公式anpnq，其中p、q为常数anabn(a0，b0)利用前n项和公式Snan2bn
3、(a，b为常数)SnA(qn1)，其中A0，q0且q1或Snnp(p为非零常数)知识点三本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想1在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；2在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法3等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想4在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想类型一方程思想求解数列问题例1设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnlna3
4、n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由已知得解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q，又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由题意得q1，q2，a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由于bnlna3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln23n3nln2.又bn1bn3ln2，bn是等差数列，Tnb1b2bnln2.故Tnln2.反思与感悟在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，a
5、n，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量跟踪训练1记等差数列的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.解设数列的公差为d，依题设有即解得或因此Snn(3n1)或Sn2n(5n)，nN*.类型二转化与化归思想求解数列问题例2在数列an中，Sn14an2，a11.(1) 设cn，求证数列cn是等差数列；(2) 求数列an的通项公式及前n项和的公式(1)证明由Sn14an2，则当n2，nN*时，有Sn4an12.得an14an4an1.方法一对an14an4an1两边同除以2n1，得2，即2，即cn1cn12cn，数列cn是等差数列由Sn14an2，得
6、a1a24a12，则a23a125，c1，c2，故公差d，cn是以为首项，为公差的等差数列方法二an12an2an4an12(an2an1)，令bnan12an，则bn是以a22a14a12a12a13为首项，2为公比的等比数列，bn32n1，cn，cn1cn，c1，cn是以为首项，为公差的等差数列(2)解由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列(n1)n，an(3n1)2n2是数列an的通项公式设Sn(31)21(321)20(3n1)2n2，2Sn(31)20(321)21(3n1)2n1，故Sn2SnSn(31)213(20212n2)(3n1)2n113(3n1)2n113(3n4)
7、2n12(3n4)2n1.数列an的通项公式为an(3n1)2n2，前n项和公式为Sn2(3n4)2n1，nN*.反思与感悟由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出跟踪训练2设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6
8、，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列类型三函数思想求解数列问题命题角度1借助函数性质解数列问题例3已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(nN*)，Snb1b2bn，是否存在t，使
9、得对任意的n均有Sn总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由解(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.d0，d2.a11.an2n1 (nN*)(2)bn，Snb1b2bn.假设存在整数t满足Sn总成立，又Sn1Sn0，数列Sn是单调递增的S1为Sn的最小值，故，即t0 (nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，当最大时，求n的值解(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，又an0，a3a55.又a3与
10、a5的等比中项为2，a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51.q，a116，an16()n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn，当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0.当n8或9时，最大12求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和解(1)当a0时，Sn1.(2)当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，则Snn2.(3)当a1且a0时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a37a4(2n1)an，得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)Sn1(2n1)a
11、n2(aa2a3a4an1)1(2n1)an21(2n1)an，又1a0，Sn.综上，Sn13已知数列an中，a15且an2an12n1 (n2且nN*)(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)求通项公式an.解(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)假设存在实数，使得数列为等差数列设bn，由bn为等差数列，则有2b2b1b3.2，.解得1.又bn1bn1.综上可知，存在实数1，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列(3)由(2)知，数列为首项是2，公差是1的等差数列2(n1)1n1，an(n1)2n1.