1、2三角形中的几何计算1进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系(易混点)2掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关三角形中的几何度量问题(重点)3深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在三角形度量问题中的作用(难点)4了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用，培养学生灵活运用知识的能力基础初探教材整理三角形中的几何计算阅读教材P54P55“练习”以上部分完成下列问题三角形中的几何计算主要涉及长度、角度、面积问题(1)在ABC中，a2，A45，则ABC外接圆的半径R等于_(2)在ABC中，AB6，A30，B120，则SABC_.【解析】(1)2R4，R2.(2)C1
2、801203030A，ABBC6，SABCABBCsin B9.【答案】(1)2(2)9小组合作型计算线段的长度图221在ABC中，已知B30，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6.(1)求ADC的大小；(2)求AB的长【精彩点拨】(1)ADC是ADC的一个内角，因为ADC的三边均已知，可以直接应用余弦定理求解(2)ABD中，由(1)求得ADB，又已知AD和B，故可应用正弦定理来解【尝试解答】(1)在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120.(2)由(1)知ADB60，在ABD中，AD10，B30，ADB60，由正弦定理得，AB10.1正弦、余弦定
3、理是解三角形常用的两个重要定理，在使用时要根据题设条件，恰当选择定理，使求解更方便、简捷2解决此类问题要处理好两个方面：(1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件再练一题1已知ABBD，ACCD，AC1，AB2，BAC120，求BD的长【解】如图，连接BC，BC，在ABC，由正弦定理知：，sinACB.又ACD90，cosBCD，sinBCD.由ABBD，ACCD，BAC120得BDC60.由正弦定理得，BD.正弦、余弦定理的综合应用在ABC中，C2A，ac10，cos A，求b.【精彩点拨】解答本题可以先由正弦定理结合ac10求出a、c，再
4、由余弦定理求b.【尝试解答】由正弦定理得2cos A，又ac10，a4，c6.由余弦定理a2b2c22bccos A得b29b200，解得b4或b5.当b4时，a4，AB，又C2A，且ABC，A，与cos A矛盾，不合题意(舍去)当b5时，满足题意本题体现了正弦定理和余弦定理的综合应用，先是由正弦定理求a、c，再由余弦定理求b.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系都是解三角形的重要工具，解三角形时要注意根据题目的条件合理选择再练一题2在ABC中，已知sin Bcos A sin C，9，ABC的面积等于6. 【导学号：47172024】(1)求C；(2)求ABC的三边之长【解】(1)设
5、三角形三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，sin Bcos Asin C，cos A，由正弦定理有cos A，又由余弦定理有cos A，即a2b2c2.所以ABC为直角三角形，且C90.(2)由，得tan A，令a4k，b3k(k0)，则SABCab6k1，三边长分别为a4，b3，c5.探究共研型三角形的面积探究1三角形中有哪些常见的结论？(三条即可)【提示】sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sincos ，cos sin .探究2三角形面积公式的应用原则是什么？【提示】(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式
6、(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面积【精彩点拨】(1)先求出sin A，sin B的值，利用正弦定理求解(2)结合(1)求出sin C的值，利用Sabsin C求面积【尝试解答】(1)sin A.sin Bsincos A.由正弦定理得b3.(2)sin Csin(AB)sin(AB)sincos 2A2cos2A1，所以SABCabsin C33.涉及三角形面积问题通常选用Sabsin Cbcsin Aacsin B，这个公式中含有正弦值，可以和正弦
7、定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向再练一题3在ABC中，BC5，AC4，cosCAD且ADBD，求ABC的面积图222【解】设CDx，则ADBD5x，在CAD中，由余弦定理可知：cosCAD，解得x1.在CAD中，由正弦定理可知：，sin C4，SABCACBCsin C45.所以ABC的面积为.1ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()A.B.C.D9【解析】由余弦定理得：三角形第三边长为3，且第三
8、边所对角的正弦值为，所以2RR.【答案】C2若平行四边形两邻边的长分别是和，它们的夹角是45，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是()A.和B2和2C.和D.和【解析】一条对角线长为l()2()22cos 45，另一条对角线长为l()2()22cos 135，所以l1，l2.【答案】C3设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则C_.【解析】根据正弦定理可将3sin A5sin B化为3a5b.所以ab，代入bc2a，可得cb，由余弦定理可得cos C，所以C.【答案】4在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的长为_【解析】由SABC得ABACsin A，即2AC，AC1.由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A22122213，BC.【答案】5如图223所示，在ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度. 【导学号：47172025】图223【解】在ABC中，由余弦定理，有cos C，则C30.在ACD中，由正弦定理，有，AD，即AD的长度等于.