1、第11讲 不等式及其应用 第11讲 不等式及其应用 主干知识整合第11讲 主干知识整合 1不等式的性质由两条基本性质(对称性、传递性)和运算性质(加、减、乘、除、乘方、开方及倒数法则等)组成，它们是解(或证)不等式的基础和依据2解不等式的基本思想是等价转化，即利用不等式的性质及有关函数的性质把问题转化为一元一次不等式、一元二次不等式求解，因而，一元一次不等式、一元二次不等式是基础解含参数的不等式，一般需分类讨论，它是这一部分的难点3几个重要不等式：(1)a2b22ab(a，bR)；(2)ab2 ab(a，bR)；(3)abab2 a2b22(a，bR)第11讲 主干知识整合 4不等式在中学中有
2、最广泛的应用，其中主要表现在(1)求函数的定义域、值域；(2)求函数的最值；(3)讨论函数的单调性；(4)研究方程的实根分布；(5)求参数取值范围；(6)解决与不等式有关的应用性问题等，其中含参数的讨论和不等式在实际问题中的应用是高考命题的热点，也是学习中的难点5不等式的证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的一个难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，亦成为历届高考的热点问题，但高考中几乎不可能出现单独考查不等式证明的试题，在题目的设计上，常常将不等式的证明与函数、数列、三角函数综合，意在考查逻辑推理能力 要点热点探究第11讲 要点热点探究 探究点一 不等式的基本性质例
3、 12011全国卷 下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1Ca2b2Da3b3【分析】结合充分、必要条件的定义，逐个分析第11讲 要点热点探究 A【解析】对 A 项，若 ab1，则 ab1，则 ab；若 ab，不能得到 ab1.对 B 项，若 ab1，不能得到 ab；对 C 项，若 a2b2，可得(ab)(ab)0，不能得到 ab；对 D 项，若 a3b3，则 ab，反之，若 ab，则 a3b3，a3b3 是 ab 成立的充分必要条件，故选 A.【点评】正确理解和运用不等式的性质是学好不等式的关键，在分析问题时，要注意思考“理论依据”是什么，不能想当然第11
4、讲 要点热点探究 有三个条件：(1)ac2bc2；(2)acbc；(3)a2b2，其中能成为ab 的充分条件的个数为()A0 B1 C2 D3B【解析】由 ac2bc2 知 c20，即 ab，故 ac2bc2是 ab 的充分条件；c0 时，ab；a0，b0，|a|b|时，ab，故(2)、(3)不是 ab 的充分条件，故选 B.第11讲 要点热点探究 探究点二 不等式的解法例 22011天津卷 已知集合 AxR|x3|x4|9，BxRx4t1t 6，t(0，)，则集合 AB_.【分析】集合 A 是不等式x3 x4 9 的解集，集合B 是函数 x4t1t6，t(0，)的值域，求出它们的范围后，再取
5、其交集第11讲 要点热点探究 x|2x5 【解 析】A xR|x3|x4|9 xR|4x5，BxRx4t1t 6，t0，xRx24t1t 6，t0，xR|x2，ABxR|4x5x|x2x|2x5【点评】本题以集合知识为载体，考查了对不等式的理解与运算正确求出不等式的解集是前提第11讲 要点热点探究 不等式 x5x122 的解集是()A.3，12B.12，3C.12，1(1,3 D.12，1(1,3D【解析】解法一：易知 x1，排除 B；由于 x0 符合，可排除 C；由于 x3 符合，可排除 A.故选 D.解法二：原不等式等价于x10，x52x12，)解得x1，12x3，)即12x1 或 1x3
6、.故选 D.第11讲 要点热点探究 探究点三 利用均值不等式求最值例 32011重庆卷 已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是()A.72 B4 C.92 D5【分析】将条件 ab2 转化成12(ab)1，再与1a4b相乘，得到利用均值不等式求最值的结构第11讲 要点热点探究 C【解析】1a4b12(ab)1a4b125ba4ab 1252ba4ab92.当且仅当ba4ab，ab2 即 a23，b43时取到等号ymin92.【点评】本题是条件最值问题，所用的方法是“1”代换法解题需要注意两点：一是将条件 ab2 转化成12(ab)1，为“1”代换法；二是注意检验等式成立的条件，这一
7、点是解答这类问题时容易出错之处第11讲 要点热点探究 若直线 axby20(a0，b0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，则1a1b的最小值为()A1 2B2C.32 2D4 C【解析】圆的直径是 4，说明直线过圆心(1,2)，故12ab1.1a1b12ab 1a1b 32ba a2b32 2，当且仅当ba a2b，即 a2(21)，b2 2时取等号第11讲 要点热点探究 探究点四 不等式的综合应用例 42011全国卷(1)设函数 f(x)ln(1x)2xx2，证明：当 x0时，f(x)0；(2)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续
8、抽取 20 次，设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p.证明：p910190 时，f(x)0，所以 f(x)为增函数，又 f(0)0.因此当 x0 时，f(x)0.(2)p 10099988110020.又9981902,9882902，9189902，所以 p0 时，ln(1x)2xx2.因此，12x ln(1x)2.在上式中，令 x19，则 19ln109 2，即10919e2.所以p910191，注意到函数 x2ln3x 在1，)内单调递增，故 1x0e.再由(3)以及函数 2xlnxx 在(1，)内单调递增，可得 10，f1(x)在(0，e)上为增函数；当 x(e，)时，f1(x)
9、0，f1(x)在(e，)上为减函数；当 xe 时，f1(x)maxf1(e)1e，而 f2(x)(xe)2me2，当 me21e，即 me21e时，方程无解；当 me21e，即 me21e时，方程有一个根；当 me21e，即 me21e时，方程有两个根 规律技巧提炼第11讲 规律技巧提炼 1利用均值不等式求最值(1)已知 x，yR，如果积 xy 是定值 P，那么当 xy 时，和 xy有最小值 2 P.(2)已知 x，yR，如果和 xy 是定值 S，那么当 xy 时，积 xy有最大值14S2.2求解一元二次不等式恒成立问题(1)判别式法：形如一元二次不等式 ax2bxc0(a0)对 xR 恒成立
10、问题，一般的求解方法是通过研究对应二次函数 yax2bxc 的图象，得到a0，b24ac0，)这种利用判别式研究一元二次不等式恒成立问题的方法叫做判别式法 第11讲 规律技巧提炼(2)根的分布法：当不等式恒成立的问题只是对部分区间恒成立时，就需要研究它所对应的方程的根与其函数值，通过根的位置和函数值的符号，建立一个满足条件的不等式组，这种求解参数范围的方法叫做根的分布法(3)函数性质法：形如不等式 f(x)a(或 f(x)a)恒成立的问题，首先研究函数 f(x)的单调性，得到函数 f(x)对应的最小(或最大)值，然后通过解不等式 f(x)mina(或 f(x)maxa)求出参数范围的方法叫做函
11、数性质法这种方法适合于所有能够分离参数的恒成立问题 第11讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：例 1：均值不等式及其变式是不等式一章中很具思维含量的内容，对于求解最值具有简化的作用，尤其是在求解多变量最值的问题时更是发挥了重要的作用例 2：从研究函数的性质入手，命题最后落脚在对不等式的考查，这是高考命制综合问题的一种方式，值得关注第11讲 教师备用例题 例 1 设 abc0，则 2a2 1ab1aab10ac25c2 的最小值是()A2 B4 C2 5 D5【解析】B 2a2 1ab1aab10ac25c2(a5c)2a2abab 1ab1aab(a5c)2ab 1aba(ab)1aab0
12、224，当且仅当 a5c0，ab1，a(ab)1 时等号成立，如取 a 2，b 22，c 25 满足条件第11讲 教师备用例题 例 2 已知 f(x)是定义在1,1上的奇函数，且 f(1)1，若 m、n1,1，mn0 时，fmfnmn0.(1)用定义证明 f(x)在1,1上是增函数；(2)解不等式：fx12 f1x1；(3)若 f(x)t22at1 对所有 x1,1，a1,1恒成立，求实数 t 的取值范围【解答】(1)证明：任取 x1x2，且 x1，x21,1，则 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)fx1fx2x1x2(x1x2)，1x1x21，x1(x2)0，由已知fx1fx2x1x2
13、0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x)在1,1上为增函数第11讲 教师备用例题(2)f(x)在1,1上为增函数，1x121，1 1x11，x12 1x1，解 得x32 x1，xR.(3)由(1)可知 f(x)在1,1上为增函数，且 f(1)1，故对 x1,1，恒有 f(x)1，所以要使 f(x)t22at1 对所有 x1,1，a1,1恒成立，即要 t22at11 恒成立，故 t22at0，记 g(a)t22at，对 a1,1，g(a)0，只需 g(a)在1,1上的最小值大于等于 0，故g(1)0，g(1)0，解得，t2 或 t0 或 t2.t 的取值范围是 t2 或 t0 或 t2.
