1、一轮大题专练11导数（有解问题1）1已知函数，其中（1）当时，求函数的最值；（2）若存在唯一整数，使得，求实数的取值范围解：（1）当时，且为定义在，上的偶函数，令，解得，且当，时，当，时，（1），无最大值；（2）即，令，作出函数与的大致图象如下，易知恒过点，且，由图象可知，要使存在唯一整数，使得，则，即，解得故实数的取值范围为2已知函数（1）当时，判断函数在区间内极值点的个数；（2）当时，证明：方程在区间上有唯一解解：（1）当时，当时，单调递增；当时，单调递减，所以函数在区间内有且仅有1个极值点（2）方程，即为方程，即为方程，令，则，又，所以在上恒成立，所以在上单调递减，又因为（1），时，令，
2、可得，所以，所以存在，使，即方程在区间上有唯一解3记，为的导函数若对，则称函数为上的“凸函数”已知函数（1）若函数为，上的凸函数，求的取值范围；（2）若方程在，上有且仅有一个实数解，求的取值范围解：（1），若为，上的凸函数，则对恒成立，即对恒成立，而在，单调递增，解得：，故的取值范围是（2）由得，令，（1），当时，对恒成立，在，上单调递增，又（1），在，上有且只有1个实数根，符合题意，当时，令得，若即时，对恒成立，在，单调递减，在，上有且只有1个实数根，符合题意，若即时，在，递增，在，递减，故存在，即在，上有2个零点，综上，的取值范围是，4已知函数（）求函数的单调递增区间；（）若是函数的极值点
3、，且关于的方程有两个实根，求实数的取值范围解：（），当时，函数在单调递增，当时，令，解得：，当时，函数在递增；综上：当时，函数的递增区间是，当时，函数的递增区间是（），是函数的极值点，（1），解得：，方程即，设，则，故在递增，在递减，故（1），设，则，故函数在递减，在递增，故（1），又当无限增大或无限接近0时，都趋近于0，故，故实数的取值范围是，5已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）当时，函数有两个零点，求正整数的最小值解：（1）时，（1），（1），故切线方程是，即；（2），当时，由可得，由得，由，得，若时，在上单调递增，至多1个零点，不合题意，若时，函数在上单调递减，在
4、上单调递减，（1），故若函数有2个零点，则，令，则，在递减，又（2），（3），（4），故存在使得，则的解集是，综上，的取值范围是，故正整数的最小值是46已知函数（1）设曲线在处的切线方程为，求证：；（2）若方程有两个根，求证：证明：（1），则，故，故切线方程是：，即，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，即；（2）不妨设，直线与相交于点，又由（1）知：，则，从而，当且仅当，时取“”，下面证明：，由于，故，即证，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故（e），即成立，当且仅当，时取“”，由于等号成立的条件不同时满足，故7已知函数的导函数为（1）当时，求证：；（2）若只有一个零点，求的取值范围解：，（1）证明：当时，设，则，故在单调递增，在单调递减，又由于，故，由于，故，即；（2）注意到（1），若，故在上单调递减，取，则，故存在使得（a），即在上只有1个零点，若，当时，而，故，当时，故，即在上无零点，当时，在上单调递增，设且，当时，故存在使得（b），即在上只有1个零点，综上：若只有1个零点，
