1、一轮大题专练8导数（构造函数证明不等式2）1已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，解：（1）函数的定义域为，令，当时，此时在上单调递减；当时，为二次函数，若，即时，的图象为开口向下的抛物线且，则，此时在上5单调递减；当，即或时，令，解得，当时，的图象为开口向下的抛物线，当，时，则，单调递减，当，时，则，单调递增；当时，的图象为开口向上的抛物线，当，则，单调递减，当，则，单调递增；综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，因此对任意恒有（1），即，又，要证，只需证，令，则，则在
2、，上单调递增，又（1），当时，恒成立，则在，上单调递增，又（1），对任意恒有（1），即，即得证2已知函数（1）求在处的切线方程；（2）已知关于的方程有两个实根，当时，求证：解：（1），故时的切线方程是，即；（2）证明：由（1）知：在递减，在递增，当时，方程有2个实根，则，令，则，令，则，故在递增，故，故在递增，故，故，故，故，故时，故，故3已知函数与是自然对数的底数，（1）讨论关于的方程根的个数；（2）当，时，证明：解：（1）令，当时，不满足当时，因此在区间上单调递增，（1），在区间上单调递减，根据零点定理，在上存在唯一零点当，在上单调递增，（1），（e），根据零点定理，在上存在唯一零点，因此
3、，根的个数为2个（2）设，在，上单调递减，在，上单调递减，所以，要证明，仅需要证明，设，当，在该区间上单调递增，所以，所以，综上所述，当，时，4已知（1）求的单调区间；（2），若有两个零点，且求证：（左边和右边两个不等式可只选一个证即可）解：（1），当时，在单调递增；当时，令，解得，令，解得，在单调递增，在单调递减；综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：，令，则，设，则，易知函数在单调递减，在单调递增，且时，当时，（1），又，则，若证所证不等式的左边，即，即证，又（b），则，故即证，即证，设（b），则，（b）在上单调递减，（b）（1），即得证；若证所
4、证不等式的右边，即，即证，即证，又（a），即，故即证，即证，设（a），则，（a）在单调递减，故（a）（1），即得证5已知函数，且函数与有相同的极值点（1）求实数的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：解：（1）令，解得，易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，令，则由题意有，（1），解得，经验证符合题意，故实数的值为1；（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，又，且，当时，（1），（3），当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，则，又，此时的取值范围为；当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，则，又，此时的取值范围为，综上，实数的取值范围为，；（3）证明
5、：所证不等式即为，下证：，即证，设，则，易知函数在上单调递减，且，故存在唯一的，使得，即，且当时，单调递增，当，时，单调递减，在单调递减，又时，故，即；再证：，即证在上恒成立，设，在单调递增，则，故，综上，即得证6已知函数（1）讨论的极值情况；（2）若时，求证：解：（1）的定义域是，时，在上单调递增，无极值，时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，无极大值；综上：时，在上单调递增，无极值，时，无极大值；（2）证明：时，使，则，此时成立，时，由（1）得时，则，解得：，故，设，则，为上的减函数，且，则存在唯一实数，使得，当时，递增，当，时，递减，故当时，的最大值是，为，上的增函数，时，则，故（a），原结论成立
