1、第12讲 数学归纳法 第12讲 数学归纳法 主干知识整合第12讲 主干知识整合 1数学归纳法证明的步骤：(1)证明当 n 取第一个值 n0 时结论正确；(2)假设当 nk(kN*且 kn0)时结论正确，证明 nk1 时结论也正确这两个步骤缺一不可，第(1)步 p(n0)成立是推理的基础，第(2)步p(k)p(k1)是推理的依据在第(2)步中，证明 nk1 命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法2数学归纳法是证明关于正整数命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点，近几年高考试题不但要求能用数学归纳法证明现成的结论，而且加强了对不完全归纳法的考查，既要求
2、归纳出结论，又要求能证明结论的正确性，初步形成观察归纳猜想证明的思维模式 要点热点探究第12讲 要点热点探究 探究点一 函数与导数的综合例 1 对任意正偶数 n，求证：1121314 1n11n21n2 1n4 12n【分析】要证的等式对于正偶数成立，初始值为 n2，假设 n2k(kN*)时式子成立后，需要证明 n2k2 时式子也成立【解答】证明：(1)当 n2 时，等式左边11212，等式右边2122 12，左边右边，等式成立第12讲 要点热点探究(2)假 设n 2k(k N*)时 等 式 成 立，即1 12 13 14 12k1 12k 212k212k4122k，那么，当 n2k2(kN
3、*)时，有 112131412k1 12k12k112k2212k212k4122k12k112k2212k412k6 14k14k214k4 22k2 24k2 24k4 12k1 12k2 212k2212k24122k2 对 n2k2(kN*)，等式成立故由(1)、(2)可知对一切正偶数 n2k(kN*)，等式成立【点评】本题为数学归纳法证明问题的一种新题型，传统问题论证一般对连续正整数成立，而这里变成对连续正偶数成立，归纳假设为 n2k，与它连续的是 2k2，相当于由 k 到 k1，应注意体会数学归纳法的这种变形使用，把它用活；当然此题也可假设 nk(k 为正偶数)成立，证明 nk2
4、成立 第12讲 要点热点探究 是否存在常数 a，b，c，使得等式 122232n(n1)2nn112(an2bnc)对一切 nN*都成立？证明你的结论【解答】假设存在常数 a，b，c 使得等式成立则当 n1,2,3时，有22222211 2(),611 22 3(42),21 22 33 493,abcabcabc 解得 a3，b11，c10，以下用数学归纳法证明：122232n(n1)2nn112(3n211n10)(1)当 n1 时，左边1224，右边4，等式成立第12讲 要点热点探究(2)假设当 nk(kZ)时，等式成立，即 122232k(k1)2kk112(3k211k10)，则当
5、nk1 时，122232k(k1)2(k1)(k2)2kk112(3k211k10)(k1)(k2)2kk112(k2)(3k5)(k1)(k2)2k1k212(3k25k12k24)k1k2123(k1)211(k1)10即当 nk1 时，等式成立由(1)、(2)知等式对一切正整数 n 都成立 第12讲 要点热点探究 探究点二 数学归纳法证明不等式问题例 2 已知 x1 时，不等式12x1x lnx 恒成立，证明：112131nln(n1)n2n1(n1)【分析】用数学归纳法证明，注意待证式与已知不等式之间的结构联系，采用换元法，从整体上把握式子的结构，将问题加以解决【解答】用数学归纳法证明
6、(1)当 n1 时，左边1，右边ln2141，不等式成立；(2)假设 nk 时，不等式成立，即 112131kln(k1)k2k1，第12讲 要点热点探究 那么当 nk1 时，112131k 1k1ln(k1)k2k1 1k1ln(k1)k22k1，对于不等式12x1x lnx，令 xk2k1，得12k2k1k1k2lnk2k1ln(k2)ln(k1)，ln(k1)k22k1ln(k2)k12k2，即 112131k 1k1ln(k2)k12k2.就是说，当 nk1 时，不等式也成立根据(1)和(2)，可知不等式对任意 nN*都成立【点评】此题运用数学归纳法难在第二问，函数的性质对问题的解决起
7、着决定性的作用，此题若没有给出函数，则需根据待证式子的结构特征构造出函数，然后利用导数等工具将问题解决，这也是高考中一类热点问题第12讲 要点热点探究 若不等式 1n1 1n213n1 a24对一切nN*都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论【分析】这是一个探索性问题，先用归纳法探求 a 的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数 n，不等式成立【解答】当 n1 时，111 112 131 a24，即2624 a24，a26，又 aZ，取 a25，下面用数学归纳法证明：1n1 1n213n12524.(1)当 n1 时，已证第12讲 要点热点探究(2)假设当 nk 时，1k11k2
8、13k12524成立则当 nk1 时，有1k111k1213k113k213k313k111k11k213k113k213k313k41k1 2524 13k2 13k4 23k1.13k2 13k4 23k1 23k13k23k4 0，1k11 1k1213k112524成立由(1)、(2)可知，对一切 nN*，都有不等式1n11n213n12524成立a 的最大值为25.第12讲 要点热点探究 探究点三 数学归纳法证明整除性问题例 3 求证：对于整数 n0 时，11n2122n1 能被 133 整除【分析】命题对 n0 成立，初始值注意应取 n0，在假设 nk 命题成立后，用nk1 表示所
9、得的式子要用 nk 时的式子和以 133 为因式的式子表示【解答】证明：(1)当 n0 时，11212133，能被 133 整除(2)假设 nk 时，11k2122k1 能被 133 整除，那么 nk1 时，11k3122k31111k2122122k111(11k2122k1)133122k1.11(11k2122k1)与 133122k1均能被 133 整除，11(11k2122k1)133122k1 能被 133 整除nk1 时命题成立由(1)(2)可知，对任意整数 n0命题均成立【点评】用数学归纳法证明整除性问题是一种常见题型，高考一般出现在选填题中，遵循：“归纳猜想证明”的思考模式，
10、重点探寻余数问题第12讲 要点热点探究 例 4 2011湖南卷 已知函数 f(x)x3，g(x)x x.(1)求函数 h(x)f(x)g(x)的零点个数，并说明理由；(2)设数列an(nN*)满足 a1a(a0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数 M，使得对于任意的 nN*，都有 anM.【分析】(1)画图形，借助图形与 x 轴交点的个数来确定函数零点的个数；(2)从特殊情况归纳猜想，再从一般情况证明 探究点四数学归纳法证明数列问题第12讲 要点热点探究【解答】(1)由 h(x)x3x x知，x0，)，而 h(0)0，且 h(1)10，则 x0 为 h(x)的一个零点，且 h(x)在(1
11、,2)内有零点因此，h(x)至少有两个零点解法一：h(x)3x2112x12，记(x)3x2112x12，则(x)6x14x32.当 x(0，)时，(x)0，因此(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点又因为(1)0，33 0，则(x)在33，1 内有零点，所以(x)在(0，)内有且只有一个零点记此零点为 x1，则当 x(0，x1)时，(x)(x1)0.所以，当 x(0，x1)时，h(x)单调递减而 h(0)0，则 h(x)在(0，x1内无零点；当 x(x1，)时，h(x)单调递增，则 h(x)在(x1，)内至多只有一个零点，从而 h(x)在(0，)内至多只有一个零点综
12、上所述，h(x)有且只有两个零点第12讲 要点热点探究 解法二：由 h(x)xx21x12，记(x)x21x12，则(x)2x12x32.当 x(0，)时，(x)0，从而(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点因此 h(x)在(0，)内也至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点(2)记 h(x)的正零点为 x0，即 x30 x0 x0.(i)当 ax0 时，由 a1a，即 a1x0.而 a32a1 a1x0 x0 x30，因此 a2x0.由此猜测：anx0.下面用数学归纳法证明当 n1 时，a1x0 显然成立假设当 nk(k1)时，akx0 成立，则当 nk1
13、 时，由a3k1ak akx0 x0 x30知，ak1x0.因此，当 nk1 时，ak1x0 成立故对任意的 nN*，anx0 成立第12讲 要点热点探究(ii)当 ax0 时，由(1)知，h(x)在(x0，)上单调递增，则 h(a)h(x0)0，即 a3a a.从而 a32a1 a1a aa3，即 a2a.由此猜测：ana.下面用数学归纳法证明当 n1 时，a1a 显然成立假设当 nk(k1)时，aka 成立，则当 nk1 时，由 a3k1ak aka aa3 知，ak1a.因此，当 nk1 时，ak1a 成立故对任意的 nN*，ana 成立综上所述，存在常数 Mmaxx0，a，使得对于任意
14、的 nN*，都有 anM.【点评】借助导数方法研究函数的单调性，作出函数图象，依据图象与 x 轴交点个数判断零点个数是一种常见的方法，应掌握和数列相关的证明问题，通常与不等式、函数、导数知识相结合，作为高考的压轴题来命制第12讲 要点热点探究 在数列an中，a11，当 n2 时，an，Sn，Sn12成等比数列(1)求 a2，a3，a4，并推出 an 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论【解答】an，Sn，Sn12成等比数列，S2nan Sn12(n2)(*)(1)由 a11，S2a1a21a2，代入(*)式得 a223，由 a11，a223，得 S313a3，代入(*)式得 a3 215
15、，同理可得 a4 235，由此可猜想 an1(1),2(2),(23)(21)nnnn第12讲 要点热点探究(2)当 n1,2,3,4 时，由(*)式知猜想成立假设 nk(k2)时，ak22k32k1成立，故 S2k22k32k1Sk12，(2k3)(2k1)S2k2Sk10，Sk12k1或 Sk12k3(舍)由 S2k1ak1Sk112，得(Skak1)2ak1ak1Sk12 12k12a2k1 2ak12k1a2k1 ak12k112ak1ak122k132k11，即 nk1 时命题也成立由知，an1(1),2(2),(23)(21)nnnn对一切nN*成立规律技巧提炼第12讲 规律技巧提
16、炼 1利用数学归纳法解决问题时，第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可特别地，在证明第二步 nk1时，一定要用到归纳假设 nk 时的结论，另外在证明第二步时要有明确的目标式，即确定证题方向2数学归纳法可以证明恒等式、不等式、数的整除性、几何中的计算问题、数列中的通项与前 n 项和等，证明过程可以用综合法，也可以用分析法或其他方法为证明 nk1 时结论成立，对条件和结论进行各种各样的恒等变形是必要的和必须的，常见的变形技巧有提取公因式、配方、恰当放缩、起点后移、增加跨度、强化命题、添项拆项等另外，不妨先把 nk1 时的结论写出来，为证明提供方向 第12讲 教师备用例题 教师备用例题
17、备选理由：由递推关系求数列通项公式时，如果递推关系较为复杂，可先写出数列前面的若干项，再进行“观察归纳猜想证明”，这是一种很有效的方法，不容忽视例 1 观察下列等式(x2x1)01(x2x1)1x2x1(x2x1)2x42x33x22x1(x2x1)3x63x56x47x36x23x1可以推测，(x2x1)5 展开式中，第五、六、七项的系数和是_第12讲 教师备用例题【答案】141【解析】(x2x1)5 展开式中，第五、六、七项的系数和是455145141.例 2 已知数列an中，a12，an0，且满足 2a2n1a2n10(nN*)，求 an.【解答】由已知式及 an0，得 an1a2n12(nN*)由于 a12，故 a2a2112221252，a3a2212521274，第12讲 教师备用例题 a4a23127412 118，由此猜想 an2n132n1(nN*)证明如下：(1)当 n1 时，左边 a12，右边20320 2，猜想正确(2)假设 nk(k1，kN)时猜想正确，即 ak2k132k1 成立，则当 nk1 时，ak 1 a2k122k132k1 122k132k122k12k32k2k1132k11.即当 nk1 时，猜想也成立综合(1)，(2)知，an2n132n1 对一切 nN*都成立