1、专题三 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 热点题型探究专题限时集训高考命题视角题型一|指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质(1)已知 a2-13，blog213，clog1213，则将 a，b，c 按从大到小的顺序排列为_(2)当 0 x12时，4xab(2)22，1 (1)由指数函数及对数函数的单调性易知 02131，log213log12121，故 cab.(2)显然 0a4122，12a2，因此 22 a1.【名师点评】比较指数函数值、对数函数值、幂函数值的大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值 0 或 1 等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式
2、转化为对数式，通过转化进行比较.1(2016南通二调)已知函数 f(x)loga(xb)(a0，a1，bR)的图象如图 3-1 所示，则 ab 的值是_图 3-192 由题图可知 logab30，logab2，解得 b4，a12，ab92.2(2016镇江期中)若 4x52x60，则函数 f(x)2x2x 的值域是_32，83 由 4x52x60 得 22x3，令 2xt，则 t2,3，f(t)t1t.又 f(t)在2,3上单调递增，故 f(2)f(t)f(3)，即 f(t)32，83.题型二|函数的零点问题(1)(2016镇江模拟)若函数 f(x)cos xx 的零点在区间(k1，k)(kZ
3、)内，则 k_.(2)(2016南京一模)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)2xm2x，设 g(x)fx，x1，fx，x1，若函数 yg(x)t 有且只有一个零点，则实数 t 的取值范围是_(1)1(2)32，32 (1)f(x)cos xx，f(x)sin x10，f(x)在 R 上是单调递减函数，f(x)至多有一个零点，又 f(0)1，f(1)cos 110，f(x)在(0,1)内存在唯一零点，由题意可知 k1.(2)由 f(x)为 R 上的奇函数可知，f(0)0，即 1m0，m1.f(x)2x12x，g(x)2x12x，x1，12x2x，x1.又当 x1 时，g(x)为增
4、函数，g(x)g(1)21232，当 x1 时，g(x)为减函数，g(x)g(1)212 32.要使 g(x)t0 有且只有一解，即函数 yg(x)与 yt 的图象只有一个交点(图略)，故32t32.【名师点评】1.确定函数零点存在区间及个数的两个方法：(1)利用零点存在性判定定理；(2)利用数形结合法当方程两端所对应的函数类型不同或对应的函数解析式为绝对值、分式、指数、对数及三角函数式时，常用数形结合法求解 2解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解1已知函数 f(x)2x，x2，x13，0 x2，若关于 x 的方
5、程 f(x)kx 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是_0k12 函数 y(x1)3 在 R 上单调递增；函数 y2x在2，)上单调递减，又因为 x2 时，(x1)31 且2x1，所以 f(x)的最大值为 1，对应点为(2,1)，又 ykx 过原点(0,0)，所以 k102012.可见 0k12.2函数 f(x)2x|log0.5x|1 有_个零点2 令 f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|12x.在同一坐标系下分别画出函数 y|log0.5x|与 y12x的图象，如图所示由图象知，两个函数的图象有两个交点，从而函数 f(x)有两个零点题型三|函数在实际生活中的应用
6、(2016苏北三市联考)经市场调查，某商品每吨的价格为 x(1x0)；月需求量为 y2 万吨，y2 1224x2 1122x1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积(1)若 a17，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格若该商品的均衡价格不低于每吨 6 百元，求实数 a 的取值范围解(1)若 a17，由 y2y1，得 1224x2 1112x117x7217217，解得40 x6.3 分 因为 1x14，所以 1x6.设该商品的月销售额为 g(x
7、)，则 g(x)y1x，1x6，y2x，6x14.5 分 当 1x6 时，g(x)17x12 xg(6)337.7 分 当 6x14 时，g(x)1224x2 1112x1 x，则 g(x)1224(3x24x224)1224(x8)(3x28)，由 g(x)0，得 x8，所以 g(x)在6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数，当 x8 时，g(x)有最大值 g(8)367.10 分(2)设 f(x)y1y2 1224x21112a x72a21a，因为 a0，所以 f(x)在区间(1,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于 6 百元，即函数 f(x)在区间6,14)上有零点，12
8、分 所以f60，f140，即7a210a117 0，72a213a0，解得 0a17.14 分 答：(1)若 a17，商品的每吨价格定为 8 百元时，月销售额最大；(2)若该商品的均衡价格不低于每吨 6 百元，实数 a 的取值范围是0，17.16分【名师点评】1.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言 建模数学语言 求解数学应用 反馈检验作答2.函数有关应用题的常见类型及解题关键1常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.2解题关键：解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的
9、有关知识加以综合解答.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图 3-2 所示)，该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米设小圆弧所在圆的半径为 x米，圆心角为(弧度)图 3-2(1)求 关于 x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为 y，求 y关于 x 的函数关系式，并求出 x 为何值时，y 取得最大值？解(1)由弧长计算及扇环面的周长为 30 米，得 30(10 x)2(
10、10 x)，所以 102x10 x(0 x10).6 分(2)花坛的面积为12(102x2)(5x)(10 x)x25x50(0 x10)装饰总费用为 9(10 x)8(10 x)17010 x，8 分 所以花坛的面积与装饰总费用的比 yx25x5017010 xx25x501017x，10 分 令 t17x，则 y3910 110t324t 310，当且仅当 t18 时取等号，此时 x1，1211.答：当 x1 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.14 分命题展望函数的零点、方程的根、函数图象的交点之间的相互转化，体现了转化与化归、数形结合等重要数学思想，同时考查了函数的图象与性质，是江苏高
11、考重点考查的内容之一，2017 年仍是命题方向，应引起足够的重视.(2015江苏高考)已知函数 f(x)|ln x|，g(x)0，0 x1，|x24|2，x1，则方程|f(x)g(x)|1 实根的个数为_4 令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x)ln x，0 x1，x2ln x2，1x2，x2ln x6，x2，当 1x2 时，h(x)2x1x12x2x0，故当 1x2 时 h(x)单调递减，在同一坐标系中画出 y|h(x)|和 y1 的图象如图所示 由图象可知|f(x)g(x)|1 的实根个数为 4.阅卷心语易错提示 1因作图能力差，导致函数|fxgx|的图象错误.2等价转化及数形结合能力
12、较弱，不能将问题等价转化.防范措施 在准确作出函数 y|fxgx|图象的前提下，数形结合，把方程|fxgx|1 实根的个数问题等价转化为函数 y1 与函数 y|fxgx|图象的交点个数问题.1已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x0，)，满足 f(x2)f(x)，若当 x0,2)时，f(x)|x2x1|，则函数 yf(x)1 在区间2,4上的零点个数为_7 由 0 x2 时，f(x)|x2x1|，且 f(x2)f(x)，可知 x 在0，)上是周期为 2 的函数，又 f(x)为偶函数，故 f(x)在2,4)上的图象如图所示由图可知 yf(x)与 y1 有 7 个交点，故函数 yf(x)1 在区间2,4)上有 7 个零点2已知定义在 R 上的函数 yf(x)对于任意的 x 都满足 f(x1)f(x)，当1x1，则 h(5)loga55.若 0a1，则 h(5)loga51，即 0a15.所以 a 的取值范围是0，15(5，)专题限时集训（三）点击图标进入