1、考纲要求1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法。2了解圆锥曲线的简单应用。3理解数形结合的思想。考情分析1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点。2考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题。3题型主要以解答题的形式出现，属中高档题。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是：直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点。()(2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是：直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点。()(3)直线 l 与抛物线 C 相切的充要条件是：直线 l 与抛物线 C 只有一个公
2、共点。()(4)如果直线 xtya 与圆锥曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|1t2|y1y2|。()(5)若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的两点，则需满足直线 l 与抛物线 C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式 0。()解析：(1)正确。直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，则直线 l 与椭圆 C 相切，反之亦成立。(2)错误。因为直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切。(3)错误。因为直线 l 与抛物线 C 的对称轴平行时，也只有一个公共点，是相交，但不相切。(4)正确。|AB|x1x22y1y22，又 x
3、1ty1a，x2ty2a，所以|AB|ty1aty2a2y1y22 t2y1y22y1y22 1t2|y1y2|。(5)错误。应是以 l 为垂直平分线的线段 AB 所在的直线 l与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式 0。2直线 ykxk1 与椭圆x29 y241 的位置关系为()A相交 B相切C相离 D不确定解析：由于直线 ykxk1k(x1)1 过定点(1,1)，(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交。答案：A3若不论 k 为何值，直线 yk(x2)b 与曲线 x2y21 总有公共点，则 b 的取值范围是()A(3，3)B 3，3C(2,2)D2,2解析：直线过(2，b)点，x2
4、 时，y2x213，y 3。b 3，3。答案：B4直线 yx1 截抛物线 y22px 所得弦长为 2 6，此抛物线方程为()Ay22x By26xCy22x 或 y26x D以上都不对解析：由yx1y22px得 x2(22p)x10。x1x22p2，x1x21。2 6 112 x1x224x1x2 2 2p224。解得 p1 或 p3，抛物线方程为 y22x 或 y26x。答案：C5椭圆 ax2by21 与直线 y1x 交于 A、B 两点，若过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30，则ab的值为()A.34 B.33C.32 D.3解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y
5、1)，B(x2,y2)，由点差法得y1y2x1x2ax0by01，所以ax0by01.又y0 x0tan30 33，所以ab 33。答案：B知识重温一、必记 3个知识点1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程。即AxByC0Fx，y0，消去 y，得 ax2bxc0。(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为，则0直线与圆锥曲线 C 相交；0直线与圆锥曲线 C 相切；0直线与圆
6、锥曲线 C 相离。(2)当 a0，b0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合。2弦长公式设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2|x1x2|1k2 x1x224x1x211k2|y1y2|11k2 y1y224y1y2。3用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤二、必明 2个易误点1直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相
7、切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点。2直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点。第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系考点一 直线与圆锥曲线的位置关系【典例 1】在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1。记点 M 的轨迹为 C。(1)求轨迹 C 的方程；(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(2,1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围。解析：(1)设点 M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即 x12y2|x|1，化简整理得 y22
8、(|x|x)。故点 M 的轨迹 C 的方程为 y24x，x00，x0。(2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y24x，C2：y0(x0)。依题意，可设直线 l 的方程为 y1k(x2)。由方程组y1kx2y24x，可得 ky24y4(2k1)0。()当 k0 时，此时 y1.把 y1 代入轨迹 C 的方程，得 x14。故此时直线 l：y1 与轨迹 C 恰好有一个公共点14，1。()当 k0 时，方程的判别式为 16(2k2k1)。设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0)，则由 y1k(x2)，令 y0，得x02k1k。a若0 x00，由解得 k1，或 k12。即当 k(，1)12，时，直
9、线 l 与 C1 没有公共点，与C2 有一个公共点，故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点。b若0 x00，或0 x00，由解得 k1，12，或12k0。即当 k1，12时，直线 l 与 C1只有一个公共点，与 C2有一个公共点。当 k12，0 时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2没有公共点。故当 k12，0 1，12时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点。c若0 x00，由解得1k12，或 0k12。即当 k1，12 0，12 时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2有一个公共点，故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点。综上可知，当 k(，1)12，0时，直线 l
10、 与轨迹C 恰好有一个公共点；当 k12，0 1，12时，直线 l 与轨迹 C恰好有两个公共点；当 k1，12 0，12 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点。悟技法1研究直线与圆锥曲线位置关系的方法研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数。对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解。2解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用求根公式或者根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解
11、。考点二 弦长问题【典例 2】设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列。(1)求|AB|；(2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值。解析：(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43。(2)设直线 l 的方程为 yxc，其中 c 1b2。A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组yxcx2y2b21，化简得(1b2)x22cx12b20。则 x1x2 2c1b2，x1x212b21b2。因为直线
12、 AB 的斜率为 1，所以|AB|2|x2x1|，即43 2|x2x1|。则89(x1x2)24x1x241b21b22412b21b28b41b22，因为 0b0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线E 上，且|AF|3。(1)求抛物线 E 的方程；(2)已知点 G(1,0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切。解析：方法一：(1)由抛物线的定义得|AF|2p2。由已知|AF|3，得 2p23，解得 p2，所以抛物线 E 的方程为 y24x。(2)如图，因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m2 2，由抛物线的对
13、称性，不妨设 A(2,2 2)。由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1)。由y2 2x1y24x得 2x25x20，解得 x2 或 x12，从而 B12，2。又 G(1,0)，所以 kGA 2 20212 23，kGB 201212 23，所以 kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切。方法二：(1)同方法一。(2)如图，设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r。因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m2 2，由抛物线的对称性，不
14、妨设 A(2,2 2)。由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1)。由y2 2x1y24x得 2x25x20。解得 x2 或 x12，从而 B12，2。又 G(1,0)，故直线 GA 的方程为 2 2x3y2 20，从而 r|2 22 2|894 217。又直线 GB 的方程为 2 2x3y2 20，所以点 F 到直线 GB 的距离 d|2 22 2|894 217r。这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切。2(2015江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，且右焦点 F 到
15、左准线 l 的距离为 3。(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC2AB，求直线 AB 的方程。解析：(1)由题意，得ca 22 且 ca2c 3，解得 a 2，c1，则 b1，所以椭圆的标准方程为x22y21。(2)当 ABx 轴时，AB 2，又 CP3，不合题意。当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 AB 的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则 x1,22k2 21k212k2，C 的坐标为2k212k2，k12k2，且 AB x2x12y2y12 1k2x2x122 21k212k2。若 k0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意。从而 k0，故直线 PC 的方程为 yk12k21kx 2k212k2，则 P 点的坐标为2，5k22k12k2，从而 PC23k21 1k2|k|12k2。因为 PC2AB，所以23k21 1k2|k|12k24 21k212k2，解得 k1。此时直线 AB 方程为 yx1 或 yx1。
