1、考点一 等差数列与等比数列的综合问题【典例 1】已知等差数列an的公差不为零，a125，且 a1，a11，a13 成等比数列。(1)求an的通项公式；(2)求 a1a4a7a3n2。解析：(1)设an的公差为 d。由题意，得 a211a1a13。即(a110d)2a1(a112d)。于是 d(2a125d)0。又 a125，所以 d2 或 0(舍去)。故 an2n27。(2)令 Sna1a4a7a3n2由(1)知 a3n26n31，故a3n2是首项为 25，公差为6 的等差数列。从而 Snn2(a1a3n2)n2(6n56)3n228n。悟技法解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数
2、列的关系。如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解。考点二 数列与不等式的综合问题【典例 2】已知等差数列an满足：a12，且 a1，a2，a5 成等比数列。(1)求数列an的通项公式；(2)记 Sn 为数列an的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn60n800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由。解析：(1)设数列an的公差为 d，依题意，2,2d,24d 成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得 d24d0，解得
3、 d0 或 d4。当 d0 时，an2；当 d4 时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为 an2 或 an4n2。(2)当 an2 时，Sn2n。显然 2n60n800，此时不存在正整数 n，使得 Sn60n800 成立。当 an4n2 时，Snn24n222n2。令 2n260n800，即 n230n4000，解得 n40 或 n10(舍去)，此时存在正整数 n，使得 Sn60n800 成立，n 的最小值为 41。综上，当 an2 时，不存在满足题意的 n；当 an4n2 时，存在满足题意的 n，其最小值为 41。悟技法数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问
4、题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等。总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了。考点三 数列与函数的综合问题【典例 3】(2016沈阳模拟)已知函数 f(x)2x33x，数列an满足a11，an1f1an，nN*。(1)求数列an的通项公式。(2)令 Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求 Tn。(3)令 bn1an1an(n2)，b13，Snb1b2bn，若 Snm2 0052对一切 nN*成立，求最小正整数 m。解析：(1)因为 a
5、n1f1an 23an3an23，所以an是以23为公差的等差数列。又 a11，所以 an23n13。(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)43(a2a4a2n)43n534n3 13249(2n23n)。(3)当 n2 时，bn1an1an123n13 23n139212n112n1，又 b1392113，所以 Snb1b2bn92113131512n112n1 92112n1，因为 Sn92112n1 m2 0052对一切 nN*成立且92112n132 500，即 2n132，得 n6，该企业从 2017 年开始
6、年底分红后的资金超过 32 500 万元。悟技法解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：高考模拟1(2016南昌模拟)已知an是单调递增的等差数列，首项 a13，前 n 项和为 Sn，数列bn是等比数列，首项 b11，且 a2b212，S3b220。(1)求an和bn的通项公式。(2)令 cnSncos(an)(nN*)，求cn的前 n 项和 Tn。解析：(1)设数列an的公差为 d，数列bn的公比为 q，则 a2b2(3d)q12，S3b23a2b23(3d)q93dq20,3dq11，q113d，则(3d)(113d)33
7、2d3d212，即 3d22d210，(3d7)(d3)0。因为an是单调递增的等差数列，所以 d0，所以 d3，q2，an3(n1)33n，bn2n1。(2)由(1)知 cnSncos3nSn32n232n，n是偶数Sn32n232n，n是奇数。当 n 是偶数时，Tnc1c2c3cnS1S2S3S4Sn1Sna2a4a6an612183n3nn24。当 n 是奇数时，TnTn1Sn3n1n1432n232n34(n1)2。综上可得，Tn3nn24，n是偶数34n12，n是奇数。2(2016宁波模拟)已知数列an的首项 a135，an1 3an2an1，nN*。(1)求证：数列1an1 为等比
8、数列。(2)记 Sn 1a1 1a2 1an，若 Sn100，求最大正整数 n。(3)是否存在互不相等的正整数 m，s，n，使 m，s，n 成等差数列，且 am1，as1，an1 成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由。解析：(1)由 an1 3an2an1可得 1an123 13an，所以 1an11 13an13。又 1a11230，所以 1an10(nN*)所以数列1an1 为首项为23，公比为13的等比数列。(2)由(1)，可得 1an12313n1，所以 1an213n1。Sn 1a1 1a2 1ann213 132 13nn213 13n1113n1 13n，若 Sn100，则 n1 13n100，所以满足条件的最大正整数 n 为 99。(3)假设存在满足条件的 m，s，n，则 mn2s，(am1)(an1)(as1)2，因为 an 3n3n2，所以3n3n213m3m21 3s3s21 2。化简，得 3m3n23s。因为 3m3n2 3mn23s，当且仅当 mn 时等号成立，这与 m，s，n 互不相等矛盾，所以假设不成立，即不存在满足条件的 m，s，n。