1、考情分析1.本部分是高考中的重点考查内容，涉及证明不等式的多种方法(比较法、综合法、分析法)。2命题形式多种多样，一般以选择题、填空题的形式考查不等式的证明方法，在解答题中与函数、数列及三角函数等问题综合考查。小题热身1已知a、b、m均为正数，且ab，M ab，N ambm，则M、N的大小关系是_。解析：MNabambmmabbbm0，即MN。答案：Mbc。答案：abc3若0ab2 ab，a2b22ab。又(a2b2)(ab)a(a1)b(b1)，0a1,0b1。a(a1)b(b1)0。a2b2ab。答案：ab4已知x，yR，且xy1，则11x11y的最小值为_。解析：11x 11y 1 1x
2、y24。答案：45若a，b，c(0，)，且abc1，则a b c的最大值为_。解析：(a b c)2(1 a1 b1 c)2(121212)(abc)3。当且仅当abc13时，等号成立。(a b c)23。故 a b c的最大值为 3。答案：3知识重温一、必记2个知识点1比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种。2.综合法和分析法(1)综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推证法或由因导果法。(2)分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需
3、条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法。二、必明2个易误点1用分析法证明不等式一定要注意格式规范。2运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当。课堂设计考点一 用比较法证明不等式【典例 1】求证：(1)当 xR 时，12x42x3x2。(2)当 a，b(0，)时，aabb(ab)2a b。解析：(1)方法一：(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)2
4、2x12212 0，所以12x42x3x2。方法二：(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2x2(x21)20，所以12x42x3x2。悟技法比较法证明不等式的方法与步骤1作差比较法(1)作差比较法证明不等式的一般步骤：作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差；变形：将差式进行变形，化简为一个常数，或通分，因式分解变形为若干个因式的积，或配方变形为一个或几个平方和等；判号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号；结论：肯定不等式成立的结论。(2)作差比较法的应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法。2作商比较法(1)作
5、商比较法证明不等式的一般步骤：作商：将不等式左右两边的式子进行作商；变形：将商式的分子放(缩)，分母不变，或分子不变，分母放(缩)，或分子放(缩)，分母缩(放)，从而化简商式为容易和1比较大小的形式；判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1或等于1；结论。(2)作商比较法的应用范围：当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法。提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号。通一类1当a，b(0，)时，(1)若ab，比较(a2b2)(ab)与(a2b2)(ab)的大小。(2)证明abba(ab)2a b。解析：(1)因为(a2b2)(ab)(a2b2)(ab)(
6、ab)a2b2(ab)22ab(ab)。又因为0ab，所以2ab0，ab0，所以(a2b2)(ab)(a2b2)(ab)。考点二 用综合法证明不等式【典例2】已知a0，b0，ab1，求证：(1)1a1b 1ab8；(2)11a 11b 9。证明：(1)ab1，a0，b0，1a1b 1ab1a1babab 21a1b2aba abb2baab 44baab48。1a1b 1ab8。(2)11a 11b 1a1b 1ab1，由(1)知1a1b 1ab8。11a 11b 9。悟技法1综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系。合理进行转换
7、，恰当选择已知不等式，这是证明的关键。(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的。在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件。2综合法证明时常用的不等式(1)a20。(2)|a|0。(3)a2b22ab，它的变形形式有a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b212(ab)2；a2b22ab22。(4)ab2 ab，它的变形形式有a1a2(a0)；abba2(ab0)；abba2(ab0)。(5)(a2b2)(c2d2)(acbd)2。通一类2已知a，b，cR，且互不相等，且abc1，求证：a b c1a1b1c。证明：法一：a，b，cR，且互不相等，且
8、abc1，a b c1bc1ca1ab1b1c21c1a21a1b21a1b1c。a b c a b c。法三：a，b，c是不等正数，且abc1，1a1b1cbccaabbcca2caab2abbc2 abc2 a2bc ab2c a b c。a b c0，且abbcca1。求证：(1)abc 3。(2)abcbaccab 3(a b c)。证明：(1)要证abc 3，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23。即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)。即证：a2b2c2abbcca。而这可以由abbccaa2b22
9、b2c22c2a22a2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得。原不等式成立。(2)abcbaccababcabc。由于(1)中已证abc 3。因此要证原不等式成立，只需证明1abc a b c。即证a bcb acc ab1，即证a bcb acc ababbcca。而a bc abacabac2，b acabbc2，c abbcac2。abcbaccababbccaabc 33 时等号成立。原不等式成立。悟技法1用分析法证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有只需证明命题B2为真，从而有只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真。2分析法的应用当所证明
10、的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆。通一类3已知a、b、c均为正实数，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c)。证明：a、b、cR，且abc1，要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab)。(ca)(ab)2 caab0，(ab)(bc)2 abbc0。(bc)(ca)2 bcca0，三式相乘得式成立，故
11、原不等式得证。高考模拟1(2015课标卷)设a，b，c，d均为正数，且abcd.证明：(1)若abcd，则 a b c d；(2)a b c d是|ab|cd|的充要条件。解析：(1)因为(a b)2ab2 ab，(c d)2cd2 cd，由题设abcd，abcd得(a b)2(c d)2。因此 a b c d。(2)(i)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd。因为abcd，所以abcd。由(1)得 a b c d。(ii)若 a b c d，则(a b)2(c d)2，即ab2 abcd2 cd。因为abcd，所以abcd。于是(ab)2(ab)24a
12、b(cd)24cd(cd)2。因此|ab|cd|。综上，a b c d是|ab|cd|的充要条件。2(2016长春三模)(1)已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：a2b2b2c2c2a2abcabc。解析：(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2。因为a，b都是正数，所以ab0。又因为ab，所以(ab)20。于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2。(2)因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc。同理b2(a2c2)2ab2c。c2(a2b2)2abc2。相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)。由a，b，c都是正数，得abc0，因此a2b2b2c2c2a2abcabc。