1、第8讲 平面向量及其应用 第8讲 平面向量及其应用 主干知识整合第8讲 主干知识整合 1平面向量运算的两种形式(1)几何运算；(2)坐标运算.2平面向量数量积及几何意义(1)ab|a|b|cosa，b(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2；(2)ab 等于|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)向量垂直的充要条件：abab0 x1x2y1y20；(2)向量夹角公式：cosa，b ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22；(3)数量积的范围：|a|b|ab|a|b|；(4)模公式：若 a(x，y)，则|a|a2 x2y2；(5)
2、平面上两点距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x22y1y22.要点热点探究第8讲 要点热点探究 探究点一 平面向量的概念与线性运算例 1 2011山东卷 设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3A1A2(R)，A1A4A1A2(R)，且112，则称 A3，A4 调和分割 A1，A2，已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下面说法正确的是()AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC、D 可能同时在线段 AB 上DC、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上第8讲 要点热点探究【分析】首先理解题设给出的新定
3、义信息，将问题转化成向量的共线问题讨论D【解析】若 C、D 调和分割点 A，B，则AC AB(R)，ADAB(R)，且112.对于 A：若 C 是线段 AB 的中点，则AC 12AB 1210，故A 选项错误；同理 B 选项错误；第8讲 要点热点探究 对于 C：若 C、A 同时在线段 AB 上，则 01,02，C 选项错误；对于 D：若 C、D 同时在线段 AB 的延长线上，则 1，1112，故 C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上，D 选项正确【点评】本题是一道新定义信息题，考查学生对新定义的理解以及处理问题的能力解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚
4、，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在 第8讲 要点热点探究 若四边形 A1A2A3A4 满足：A1A2 A3A4 0，(A1A2 A1A4)A1A30，则该四边形一定是()A矩形 B菱形C正方形D直角梯形 B【解析】A1A2 A3A4 0，A1A2 A4A3，即四边形A1A2A3A4 是平行四边形又(A1A2 A1A4)A1A3 A4A2 A1A3 0，A4A2 A1A3.于是，四边形 A1A2A3A4 是菱形第8讲 要点热点探究 探究点二 平面向量的数量积例 2 2011广东卷 若向量 a，b，c 满足 ab 且 ac，则 c(a2b)()A4B3C2D0【分析
5、】首先从 ab 且 ac 入手，找到 b 与 c 的关系，再进行数量积计算第8讲 要点热点探究 D【解析】因为 ab 且 ac，所以 bc，所以 c(a2b)ca2bc0.【点评】本题考查向量的运算及向量平行与垂直的关系，抓住 ab 与 ac，得到 bc，这是解决本题的关键求解向量的问题，有时从性质入手更为有效第8讲 要点热点探究 ABC 外接圆的半径为 1，圆心为 O，且 2OA AB AC 0，|OA|AB|，则CA CB 等于()A.32B.3C3D2 3C【解析】取 BC 边中点 M，由 2OA AB AC 0，可得 2AO AB AC 2AM，则点 M 与点 O 重合又由|OB|OC
6、|OA|AB|1，可得ABC 是直角三角形，BAC90，ABC60，故|AC|BC|sin602 32 3，则CA CB|CA|CB|cosC|CA|23.第8讲 要点热点探究 探究点三 利用导数研究函数的单调性问题例 3 如图 81，平面上定点 F 到定直线 l 的距离|FM|2，P 为该平面上的动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且(PFPQ)(PFPQ)0.(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 N，已知NA1AF，NB 2BF，求证：12 为定值图 81第8讲 要点热点探究【分析】
7、第(1)问将点的坐标代入题设条件中的向量关系，化简即可得到动点 P 的轨迹方程；第(2)问求证 12 为定值，先将 1，2 用坐标量表示出来，再求和得定值【解答】(1)方法一：以线段 FM 的中点为原点 O，以线段 FM所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 xOy.则 F(0,1)设动点 P 的坐标为(x，y)，则动点 Q 的坐标为(x，1)，PF(x,1y)，PQ(0，1y),由(PFPQ)(PFPQ)0，得 x24y.方法二：由(PFPQ)(PFPQ)0 得，|PQ|PF|.所以，动点 P 的轨迹 C 是抛物线，以线段 FM 的中点为原点 O，以线段 FM 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系
8、 xOy，由|FM|2 可得轨迹 C 的方程为：x24y.第8讲 要点热点探究(2)证法一：设直线 AB 的方程为 ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 N2k，1.联立方程组x24y，ykx1，消去 y 得，x24kx40，(4k)2160，故x1x24k，x1x24.由NA 1AF，NB2BF 得，x12k1x1，x22k2x2，整理得，11 2kx1，21 2kx2，1222k1x1 1x2 22kx1x2x1x2 22k 4k40.证法二：由已知NA 1AF，NB 2BF，得 120，如图，过 A、B 两点分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1、B1，则有NANB AA1
9、BB1 AFBF，由得 120.第8讲 要点热点探究 【点评】向量与平面解析几何的结合是高考重要的考查内容，这类问题一般都比较综合，考查综合应用知识的能力向量知识在解析几何中的应用，涉及的题型包括求曲线的方程、求参数的取值范围、探究圆锥曲线的几何性质(特别是研究定点、定值、最值问题)，而解决问题一般以向量的运算为切入口，引入轨迹，再对解析几何知识进行深入探究本题是平面向量在解析几何中的应用，这是向量知识综合应用的一种常见高考命题方式另外，向量的几何意义及圆锥曲线的定义也是在解题中经常用到的技巧第8讲 要点热点探究 热点链接 5 平面向量中的最值（或范围）问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热
10、点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况下取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系式，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合第8讲 要点热点探究 例 4 2011全国卷 设向量 a，b，c 满足|a|
11、b|1，ab12，ac，bc60，则|c|的最大值等于()A2B.3C.2D1【分析】根据已知可得向量 a，b 的夹角，根据向量减法的运算可得向量 ab，bc 的几何表示，根据其几何意义判断在什么情况下|c|最大第8讲 要点热点探究【解析】A 设向量 a，b，c 的起点为 O，终点分别为 A，B，C，由已知条件得，AOB120，ACB60，则点 C 在AOB 的外接圆上，当 OC 经过圆心时，|c|最大，在AOB 中，求得 AB 3，由正弦定理得AOB 外接圆的直径是3sin1202，c 的最大值是 2，故选 A.【点评】本题以向量的数量积、夹角为命题形式，将向量与解三角形知识有机结合，考查正
12、弦、余弦定理的应用解答本题的关键在于将向量 a，b，c 的起点平移至同一点 O，根据题设条件，得到 A，O，B，C 四点共圆，体现了数形结合思想的自然联想与应用第8讲 要点热点探究(1)若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为12，则 与 的夹角的取值范围是_.(2)已知 a、b 为非零向量，matb(tR)，若|a|1，|b|2，当且仅当 t14时，|m|取最小值，则向量 a、b 的夹角为()A.6B.3C.23D.56第8讲 要点热点探究 (1)6，56 (2)C【解析】(1)依题意，设夹角为，|sin12，又|1，|1，则 sin12.而 0，6，56.(2)ma
13、tb，|a|1，|b|2，令向量 a、b 的夹角为，|m|atb|a|2t2|b|22t|a|b|cos4t24tcos14tcos221cos2.又当且仅当 t14时，|m|取最小值，即14cos2 0，cos12，23.规律技巧提炼第8讲 规律技巧提炼 1平面向量共线与垂直的相关结论：(1)向量平行(共线)的充要条件：ab(ab)2(|a|b|)2；向量垂直的充要条件：ab|ab|ab|.(2)若向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20；abx1y2x2y10.2向量和平面几何结合的几个结论：(1)在平行四边形 ABCD 中，|AB|AD|，则(AB AD)(A
14、B AD)0，即菱形模型；若ABAD，则|AB AD|AB AD|，即矩形模型(2)在ABC 中，OA 2OB 2OC 2，O 是ABC 的外心；AB AC 一定过 BC 的中点及ABC的重心；OA OB OC 0，O 是ABC 的重心；OA OB OB OC OC OA，则 O 是ABC的垂心；AB|AB|AC|AC|(R)通过ABC 的内心 第8讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：例 1 可作要点热点探究中例 1 的补充题本题考查利用平面向量的线性关系，在平面几何图形中设计命题，是高考考查向量知识的常见题型；例 2 可作要点热点探究中例 2 的补充题将向量的数量积与三角函数的求值对应，
15、充实和巩固上一节知识的应用第8讲 教师备用例题 例 1 如图，在ABC 中，AN 13NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB 211AC，则实数 m 的值为_【答案】311【解析】AP14AC NP mAB 211AC，NP mAB 344AC，NB AB AN AB 14AC，设NP NB，则 AB 14AC mAB 344AC，m 311.第8讲 教师备用例题 例 2 已知 A，B，C 是ABC 的三个内角，a(sinBcosB，cosC)，b(sinC，sinBcosB)(1)若 ab0，求角 A；(2)若 ab15，求 tan2A.【解答】(1)由已知 ab0 得(sinBcosB)sinCcosC(sinBcosB)0，化简得 sin(BC)cos(BC)0，即 sinAcosA0，tanA1，而 A(0，)，A34.第8讲 教师备用例题(2)ab15，即 sin(BC)cos(BC)15，sinAcosA15.对平方得 2sinAcosA2425，24250，A2，sinAcosA 12sinAcosA75.联立得 sinA35，cosA45，tanA34，于是，tan2A 2tanA1tan2A2341342247.