1、学业分层测评(一)一、选择题(每小题5分，共20分)1.已知平面上两定点A，B，且A(1,0)，B(1,0)，动点P与两定点连线斜率之积为1，则动点P的轨迹是()A.直线B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分【解析】设点P的坐标为(x，y)，由kPAkPB1，得1.整理得x2y21(x1).【答案】B2.在同一平面直角坐标系中，将曲线ycos 2x按伸缩变换后为()A.ycos xB.y3cosxC.y2cosxD.ycos 3x【解析】由得代入ycos 2x，得cos X.Ycos X，即曲线ycos x.【答案】A3.动点P到直线xy40的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P
2、的轨迹是()A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】M(2,2)在直线xy40上，点P的轨迹是过M与直线xy40垂直的直线.【答案】A4.将直线xy1变换为直线2x3y6的一个伸缩变换为()A.B.C.D.【解析】设伸缩变换为由(X，Y)在直线2x3y6上，2X3Y6，则2ax3by6.因此xy1，与xy1比较，1且1，故a3且b2.所求的变换为.【答案】A二、填空题(每小题5分，共10分)5.在伸缩变换：作用下，点P(1，2)变换为P的坐标为_.【解析】x1，y2.X2x2，Yy1，故P(2，1).【答案】(2，1)6.ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹是_.【解
3、析】取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(2,0)、C(2,0)、D(0,0).设A(x，y)，则|AD|.注意到A、B、C三点不能共线，化简即得轨迹方程：x2y29(y0).【答案】以BC的中点为圆心，半径为3的圆(去掉两点)三、解答题(每小题10分，共30分)7.在平面直角坐标系中，求方程2x3y0经过伸缩变换后的图形.【解】由得将代入2x3y0，得XY0，因此直线2x3y0变换成直线XY0.8.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处.求城市B处于危险区内的时间.【解】以A为
4、坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线yx，与圆B相交于点M，N，点B到直线yx的距离d20.求得|MN|220(km)，故1，所以城市B处于危险区的时间为1h.9.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图111，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)，B(6,0)同时跟踪航天器.图111(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设曲线方程为yax2.因为D(8,0)在抛物线上，a.曲线方程为yx2.(2)设变轨点为C(x，y).根据题意可知得4y27y360，解得y4或y(不合题意).y4.得x6或x6(不合题意，舍去).C点的坐标为(6,4).|AC|2，|BC|4.所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令.
