1、第3讲空间向量与立体几何一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B. C. D.解析设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所示空间坐标系，则(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案B2(2012陕西高考)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B. C. D.解析不妨令CB1，则CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，
2、0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案A3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示A1MANa，M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案B4过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP
3、所成的二面角的大小是()A30 B45C60 D90解析法一建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为，故所求的二面角的大小是45.法二将其补成正方体如图(2)，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45.答案B5正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则
4、E(0,0,0)，F(1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(1,0,2)，C1(0，2)，G.(2,0，1)，(1,0,1)，设平面GEF的一个法向量为n(x，y，z)，由得令x1，则n(1，1)，设B1F与平面GEF所成角为，则sin |cosn，|.答案A二、填空题6在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB1，则D(0,0,0)，N，M，A1(1,0,1)，10110，A1M与DN所成的角的大小是90.答案907在四面体PABC中，PA，PB，
5、PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC，H为ABC的外心又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为.PHa.答案a8在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设ODSOOAOBOCa.则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(
6、a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，设n(x，y，z)，则解得可取n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案30三、解答题9(2013新课标全国)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB. (1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由ACCBAB，得ACBC.以C为
7、坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz. 设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则即可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.10(2013济南模拟)已知四边形ABCD是菱形，BAD60，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，G，H分别是CE，CF的中点(1)求证：平面AEF
8、平面BDGH(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值(1)证明G，H分别为CE，CF的中点，所以EFGH，连接AC与BD交于O，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，连接OG，OG是三角形ACE的中位线，OGAE，又EFAEE，GHOGG，则平面AEF平面BDGH，(2)解因为BFBD，平面BDEF平面ABCD，所以BF平面ABCD，取EF的中点N，连接ON，则ONBF，ON平面ABCD，建立空间直角坐标系如图所示，设AB2，BFt，则B(1,0,0)，C(0，0)，F(1,0，t)，H，(1,0,0)，设平面BDGH的法向量为n1(x
9、，y，z)，取n1(0，t，)，平面ABCD的法向量n2(0,0,1)，|cosn1，n2|，所以t29，t3.所以(1，3)，设直线CF与平面BDGH所成的角为，sin |cos，n1|.11如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长(1)证明以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0，0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,
10、0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1EAD1.(2)解假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)(0z01)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)由n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.(3)解连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos .二面角AB1EA1的大小为30，|cos |cos 30，即，解得a2，即AB的长为2.