1、第6讲 三角函数的图象与恒等变换 第7讲 正弦、余弦定理与解三角形 专题二 三角函数、平面向量第8讲 平面向量及其应用专题二 三角函数、平面向量知识网络构建专题二 知识网络构建 考情分析预测专题二 考情分析预测 考向预测 三角函数和平面向量知识是近年来高考命题比较平稳的知识点，本专题的重点内容是三角函数的图象与性质，三角函数的恒等变换(化简、求值)，平面向量的线性运算，平面向量的数量积运算等，其中三角函数与平面向量的综合题成为高考命题的特色命题形式基本上是用选择题或者填空题的方式考查三角函数和平面向量的基础知识、基本技能以及化归与转化的能力、计算能力等，解答题要求考生具有一定的知识迁移能力，特
2、别是平面向量与圆锥曲线的综合问题，体现向量的工具价值由于该专题新旧教材基本没有变化，因此，预计 2012 年高考本专题命题依然是保持稳定，具有以下特点：专题二 考情分析预测 (1)选择、填空题考查以下问题：三角函数的性质，即单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、图象变换等；给值求值问题；简单的解三角形问题；向量的线性运算、向量的数量积计算；向量的共线、垂直及夹角问题(2)解答题考查以下问题：与向量结合的给值求值问题；综合考查函数恒等变换、性质、图象变换问题；解三角形及三角函数的应用问题 专题二 考情分析预测 备考策略 二轮复习时，需关注以下四个方面：(1)三角函数的化简与求值以三角函数的基本公
3、式为基础，通过恒等变形及数值运算等方法使得三角函数式得以化简或求出具体的数值这类题目一般难度不大，多出现在选择题或填空题或较基础的解答题中，在历年的高考中保持相对稳定(2)三角函数的图象和性质是三角运算的延伸，它不仅要求学生掌握三角函数的基本公式，还要求学生能借助函数图象直观地判断三角函数所具有的性质与特点因此，这部分内容更能考查学生的灵活性从近几年的命题趋势来看，这一部分的内容在逐步加强，但是难度一般不大，在二轮复习中要多注意对三角函数图象的分析，能灵活应用数形结合等方法解决问题 专题二 考情分析预测 (3)解斜三角形是高考的必考内容，重点为正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多变，
4、常与三角函数结合实现边角互化，难度中等二轮复习中要多注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理之间的联系及灵活变形(4)平面向量的引入为解决平面几何问题及简单的代数问题提供了很大的方便，因此平面向量是重要的数学工具之一而高考命题也体现了向量的这一特点，从向量的基本运算出发，重点考查平面向量的应用及与其他知识的简单综合，一般难度不大，但是出题的频率较高预计在2012 年仍会在平面向量与三角函数、平面向量与解析几何等交汇处设置命题.专题二 近年高考纵览 第6讲 三角函数的图象与恒等变换 第6讲 三角函数的图 象与恒等变换 主干知识整合第6讲 主干知识整合 1三角函数的图象和性质在解答题中出现的频率较高，
5、要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值、周期等.2正弦函数和余弦函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形通过研究 yAsin(x)(A0)的图象特点，可以发现它具有以下几点性质：在对称轴处取得最大值或最小值；对称中心就是函数图象与 x 轴的交点；两相邻的对称中心(或对称轴)之间相差半个周期，相邻的一个对称中心和对称轴之间相差四分之一个周期 第6讲 主干知识整合 3三角函数的恒等变换的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等
6、二倍角公式是实现降幂或升幂的主要依据，注意其变形：1cos22cos2，1cos22sin2，cos21cos22，sin21cos22.4三角函数公式的应用是考查的重点，应用三角函数求值、化简及证明恒等式是主要考查方式因此在复习本讲内容时，不但要熟记三角函数公式，还要灵活变换公式并加以应用例如，tan()tan tan 1tan tan 与 tan tan tan()(1tan tan)的转化；正(余)弦倍角公式与半角公式的转化等 例 12011重庆卷 已知 sin12cos，且 0，2，则 cos2sin4的值为_要点热点探究第6讲 要点热点探究 探究点一 三角函数的求值【分析】思路 1：
7、已知条件即 sincos12，即 sin4 24，则只要根据诱导公式和倍角公式变换 cos2 为2sin4 cos4，化简求解目标后再具体求解；思路2：将 sin4 展开，与分子化简得 sincos 的结构式，而沟通 sincos 与 sincos 的关系式是(sincos)2(sincos)22.第6讲 要点热点探究 142 【解析】cos2sin4 cos2sin222 sincoscossincossin22 sincos 2(cossin)，sin12cos，cossin12，两边平方得 1 2sincos 14，所 以 2sincos 34.0，2，cos sin cossin213
8、4 72，cos2sin4 142.第6讲 要点热点探究【点评】在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数用已知的角的三角函数表示出来；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件 第6讲 要点热点探究 探究点二 三角函数的图象例 22011全国卷 设函数 f(x)cosx(0)，将 yf(x)的图象向右平移3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于()A.13 B3 C6 D9【分析】先按照题设条件进行平移，再讨论 的最小值第6讲 要点热点探究 C【解析
9、】将 yf(x)的图象向右平移3个单位长度后得到的图象与原图象重合，则32 k，kZ，得 6k，kZ，又 0，则 的最小值等于 6，故选 C.【点评】本题考查三角函数图象的平移变换，理解函数图象平移变换的原理是解题的关键若图象向右平移3个单位，则应给自变量减3；若图象向左平移3个单位，则应给自变量加3.特别强调的是此处是给 x 作加减，而不是给 x 作加减第6讲 要点热点探究 将函数 ycosx3 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平移6个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为()Ax9Bx8Cx2Dx C【解析】平移后的函数解析式为 ycos12x4，根据对称轴的意
10、义，有12x4k(kZ)，即 x2k2(kZ)x2是平移后函数图象的一条对称轴方程第6讲 要点热点探究 探究点三 三角函数的性质例 32011安徽卷 已知函数 f(x)sin(2x)，其中 为实数，若f(x)f6 对 xR 恒成立，且 f2 f()，则 f(x)的单调递增区间是()A.k3，k6(kZ)B.k，k2(kZ)C.k6，k23(kZ)D.k2，k(kZ)【分析】f(x)f6 说明f6 是函数f(x)的最大值或者最小值，从而可以确定 的可能取值，再根据 f2 f()确定 的具体取值，求出函数的解析式，根据正弦型函数的性质得出其单调递增区间第6讲 要点热点探究 C【解析】对 xR 时，
11、f(x)f6 恒成立，所以 f6 sin3 1，可得 2k6或 2k56，kZ.因为 f2 sin()sinf()sin(2)sin，故 sin0.所以 2k56，所以 f(x)sin2x56.由22k2x56 22k，得函数 f(x)的单调递减区间为k6，k23(kZ)，答案为 C.第6讲 要点热点探究【点评】正弦型函数 yAsin(x)单调性可以从复合函数的单调性去理解，在 0 时，ux 是单调递增的，故 A0 时，函数 yAsin(x)的单调递增区间就是 ysinu 的单调递增区间，根据正弦函数单调递增区间即可得出 u 的范围，求出 x 的解区间就是所求函数的单调递增区间(减区间的处理方
12、法类似)当 0 时，一般是根据三角函数的诱导公式把其化为正值，再求解其单调区间，如求 ysin2x4 的单调递增区间可以转化为求函数 ysin2x4 的单调递减区间 第6讲 要点热点探究 设函数 y2sin2x3 的图象关于点 P(x0,0)中心对称，若 x02，0，则 x0_.6【解析】由正弦函数的性质知，正弦函数图象的对称中心是其与 x 轴的交点，y2sin2x03 0，又 x02，0，解得 x06.第6讲 要点热点探究 例 4 2011北京卷 已知函数 f(x)4cosxsinx6 1.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间6，4 上的最大值和最小值【分析】首先将函数解
13、析式化为 f(x)Asin(x)B 的形式，再研究相关性质第6讲 要点热点探究【解 答】(1)因 为f(x)4cosxsin x6 1 4cosx32 sinx12cosx 1 3sin2x2cos2x1 3sin2xcos2x2sin2x6，所以 f(x)的最小正周期为.(2)因为6x4，所以62x623.于是，当 2x62，即 x6时，f(x)取得最大值 2 当 2x66，即 x6时，f(x)取得最小值1.【点评】三角函数的周期、最值、单调区间等问题，一般考虑先将所给的解析式化为一个角的一种三角函数的形式，再研究对应的三角函数性质对于给定区间的三角函数求最值，要注意利用三角函数的图象进行分
14、析第6讲 要点热点探究 热点链接 4 由三角函数的图象确定解析式的基本方法由三角函数的图象确定函数的解析式，主要是确定参数 A，的值，通常的方法为：A 可以由图象的最高(低)点确定；一般通过周期公式 T2 来求解，因而要求出 的关键在于求出周期一般地，函数的周期可以由最高点、最低点、零点的坐标或者对称轴的方程、对称中心的坐标等求解；可用代入法求解，即把图象上的一个已知点代入(此时 A，已知)求解，这里要注意这个已知点是最值点还是零点，如果是零点还要看清它是在增区间上还是在减区间上，并结合“五点作图法”对应的五个点进行理解第6讲 要点热点探究 例 5 2011辽宁卷 已知函数 f(x)Atan(
15、x)0，|2，yf(x)的部分图象如图 61，则 f24 _.图 61第6讲 要点热点探究【分析】根据正切函数的周期性和已知函数图象上的特殊点的坐标，求出函数的解析式【答案】3【解析】由图象知238 8 2，2.又由于 28k2(kZ)，k4(kZ)，又|2，所以 4.这时 f(x)Atan2x4.又图象过(0,1)，代入得 A1，故 f(x)tan2x4.所以f24 tan2 244 3.第6讲 要点热点探究【点评】根据函数图象求函数的解析式，主要是根据函数的图象发现函数的性质，如周期性、对称性、特殊点等，然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数本题考查正切函数的图象和性质，其中正切函数 y
16、Atan(x)的最小正周期是 .第6讲 要点热点探究 函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2 的部分图象如图 62 所示，则，的值分别为()图 62A2,0 B2，4C2，3D2，6第6讲 要点热点探究 D【解析】由图象知34T1112 634，T，则 2T 2 2.又 262k2，kZ，注意到|2，取 k0，得 6.第6讲 要点热点探究 已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象如图 63 所示，则 yf(x)的图象可由函数 g(x)sin x 的图象(纵坐标不变)()A先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向右平移 12个单位得到B先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右
17、平移 12个单位得到C先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移6个单位得到D先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移6个单位得到图 63第6讲 要点热点探究 A【解析】由图象知 A1，T471234，T，则 2T 2 2.又 232k2，kZ，取 k0，得 6.即 f(x)sin2x6.将 g(x)sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再向右平移 12个单位，可得 f(x)sin2x6 的图象规律技巧提炼第6讲 规律技巧提炼 1对于函数 ysin x 到函数 yAsin(x)(A0，0)的图象变换，可以先将 ysin x 的图象向左(0)或向右(0)平移|个单位，再将其上点的
18、横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的1倍，然后将其纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的 A 倍也可以先伸缩变换再平移变换，此时平移量不再是|个单位，而是 个单位 第6讲 规律技巧提炼 2在三角函数的化简与求值中，要注意“1”的妙用：1sin2cos2tan4sin2cos 0，这些都可以作为常数“1”的代换，要会灵活使用3熟记一些常见的角的关系有利于我们快速求值：2()()，2()()，()，4 4；1030207060；3 6 2，4 4 2.第6讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：例 1 可作要点热点探究中例 3的补充题本题第(1)问研究三角函数的性质，第(2)问是三角函数的条
19、件求值，有一定的综合性；例 2 可作要点热点探究中例 4 的补充题通过函数的值域求解，探究参数的取值范围第6讲 教师备用例题 例 1 将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移 12个单位后，得到的图象与函数 g(x)sin2x 的图象重合(1)写出函数 yf(x)的图象的一条对称轴方程；(2)若 A 为三角形的内角，且 f(A)13，求 gA2 的值第6讲 教师备用例题【解答】(1)由题意可知，将函数 g(x)sin2x 的图象向右平移 12个单位，再将横坐标伸长到原来的 2 倍，即可得到 f(x)的图象，f(x)sinx6.由 x6k2，得 xk23(
20、kZ)，则 yf(x)的图象的一条对称轴方程为 x23 或 x3等(只要写出满足条件的一个对称轴方程即可)(2)由 f(A)13，得 sinA6 13，0A，6A656，又 0sinA6 1312，0A66，cosA6 2 23.于是，gA2 sinAsinA6 6 sinA6 cos6cosA6 sin613 32 2 23 122 2 36.第6讲 教师备用例题 例2已 知 函 数f(x)2cos x3sinx33cosx3.(1)求 f(x)的值域和最小正周期；(2)若对任意 x0，3，mfx 3 20 恒成立，求实数m 的取值范围第6讲 教师备用例题【解 答】(1)f(x)2sin x3cos x3 23 cos2x3sin2x23 3cos2x23 1 sin2x23 3cos2x23 32sin2x3 3.1sin2x3 1，2 32sin2x3 32 3，又 T22，即 f(x)的值域为2 3，2 3，最小正周期为.(2)当 x0，3 时，2x33，sin2x3 0,1，此时 f(x)32sin2x3 0,2由 mf(x)320 知，m0，且 f(x)32m，02m2，即2m0，2m20，解得 m1.即实数 m 的取值范围是，1.
