1、考纲要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性。3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。考情分析1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常与函数的单调性、零点等性质交汇命题。2题型多以客观题为主，一般为容易题，但有时难度也会很大。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在 x 轴上是关于坐标原点对称的。()(2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)0。()(3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称。()(4)若函数 yf(xb)是奇函数，
2、则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称。()解析：(1)正确。根据函数奇偶性的定义，f(x)，f(x)必须同时有意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性。(2)错误。若函数 f(x)在点 x0 处没有定义，如 f(x)1x，则 f(0)不存在。(3)正确。函数 yf(xa)关于直线 x0 对称，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称。(4)正确。函数 yf(xb)关于点(0,0)中心对称，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称。2已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab的值是()A13 B.13C.12
3、D12解析：由题意得 a12a 且 b0，故 a13，ab13，选 B。答案：B3已知 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x。A BC D解析：由奇函数的定义验证可知正确，选 D。答案：D4若函数 f(x)x2x1xa为奇函数，则 a()A.12B.23C.34 D1解析：由题意，得 f(1)f(1)，即111a131a，解得 a12，选 A。答案：A5已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x4)f(x)，当 x(0,2)时，f(x)2x2，则 f(7)()A2 B2C98 D98解析：由 f(x4)f(
4、x)，得 f(7)f(3)f(1)，又 f(x)为奇函数，f(1)f(1)，f(1)2122，f(7)2。故选 A。答案：A知识重温一、必记 3个知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数 如果函数 f(x)的定义域内_x 都有_，那么函数 f(x)是偶函数关于_对称奇函数 如果函数 f(x)的定义域内_x 都有_，那么函数 f(x)是奇函数关于_对称任意一个f(x)f(x)y 轴任意一个f(x)f(x)原点2奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填“相同”、“相反”)。(2)在公共定义域内()两个奇函数的和函数是_，两个奇函数的
5、积函数是_。()两个偶函数的和函数、积函数是_。()一个奇函数与一个偶函数的积函数是_。(3)若 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则 f(0)_。相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数03函数的周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期。(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中_的正数，那么这个_就叫做 f(x)的最小正周期。(3)常见结论：若 f(xa)f(x)，则 T2a；若 f(xa)1fx，则T2a；若 f(xa)1fx，则 T2a。
6、(4)若 f(x)为奇函数且周期为 T，则 fT2 0。f(x)存在一个最小最小正数二、必明 2个易误点1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称。定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件。2判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有f(x)f(x)或 f(x)f(x)，而不能说存在 x0 使 f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)。考点一 函数奇偶性的判定【典例 1】判断下列函数的奇偶性，并说明理由。(1)f(x)x2|x|1 x1,4；(2)f(x)(x1)1x1x x(1,1)；(3)f(x)1ax112(a0，a1)；(4)f(x)x1
7、x x0 x1x x0。解析：(1)由于 f(x)x2|x|1，x1,4的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数。(2)f(x)(x1)1x1x，已知 f(x)的定义域为1x1，其定义域关于原点对称。又 f(x)(x1)1x1x(x1)1x1x1x21x1x 1x1x1x1x21x(1x)1x1x(x1)1x1xf(x)，即 f(x)f(x)，f(x)是偶函数。(3)f(x)的定义域为 xR，且 x0，其定义域关于原点对称，并且有f(x)1ax11211ax112 ax1ax121ax11ax12111ax121ax112f(x)，即 f(x)f(x)，f(x)为奇函数。(
8、4)f(x)x1x x0 x1x x0 的定义域关于原点对称，当 x0 时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0)。当 x0 时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0)。f(x)f(x)，f(x)为奇函数。悟技法判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断 f(x)是否等于f(x)或判断 f(x)f(x)是否等于零，或判断 fxfx(f(x)0)是否等于1 等。(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y 轴)对称。(3)性
9、质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)通一类1下列函数：f(x)x3x；f(x)ln(x x21)；f(x)axaxaxax(a0 且 a1)；f(x)lg1x1x；f(x)x1x，x0 x1x，x0，其中有_个奇函数。4解析：f(x)x3x 的定义域为 R，又 f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，所以 f(x)x3x 是奇函数。由 x x21x|x|0 知 f(x)ln(x x21)的定义域为 R，又 f(x)l
10、n(x x21)ln1x x21ln(x x21)f(x)，所以 f(x)为奇函数。f(x)定义域为 R，且 f(x)axaxaxaxf(x)，所以 f(x)为奇函数。由1x1x0 得1x1，f(x)lg1x1x的定义域为(1,1)，又 f(x)lg1x1xlg1x1x1lg1x1xf(x)，所以 f(x)为奇函数。函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，其关于原点对称，并且有当 x0 时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)，当 x0 时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)，所以函数 f(x)为偶函数。所以中共有 4 个奇函数。2若函数 f(x)(xR)是奇函数，函数
11、 g(x)(xR)是偶函数，则()A函数 f(g(x)是奇函数B函数 g(f(x)是奇函数C函数 f(x)g(x)是奇函数D函数 f(x)g(x)是奇函数解析：根据函数奇偶性的定义可知，f(g(x)f(g(x)，所以 f(g(x)是偶函数，同理可以判断 g(f(x)是偶函数，函数 f(x)g(x)的奇偶性不确定，而 f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数。答案：C考点二 函数奇偶性的应用【典例 2】(1)(2016佛山统考)若函数 f(x)sinxx2xa是奇函数，则实数 a 的值等于_。(2)已知函数 f(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)lnx，则
12、 ff1e2 的值为()A.1ln2 B 1ln2Cln2 Dln22D解析：(1)方法一：因为 f(x)是奇函数，所以 f(1)f(1)，即sin1a1 sin13a1，于是 a13(a1)，解得 a2，且这时 f(x)sinxx24，容易验证 f(x)是奇函数。方法二：ysinx 是奇函数，f(x)是奇函数，y(x2)(xa)x2(2a)x2a 是偶函数，2a0，即 a2。(2)由已知可得 f1e2 ln1e22，所以 ff1e2 f(2)。又因为 f(x)是奇函数，所以 ff1e2 f(2)f(2)ln2，故选 D。悟技法函数奇偶性的问题类型及解题思路(1)已知函数的奇偶性，求函数值：将
13、待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解。(2)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值，常常利用待定系数法：利用 f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解。(3)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一对称区间上的单调性。通一类3已知 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x22x，则在 R 上 f(x)的表达式为()Ax(x2)Bx(|x|2)C|x|(x2)D|x|(|x|2)解析：设 x0，则x0。f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)22(x)x22x。f(x)x22x，x0 x22
14、x。x0，即 f(x)x(|x|2)。故选 B。答案：B4已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)g(x)axax2(a0 且 a1)，若 g(2)a，则 f(2)()A2 B.174C.154 Da2解析：由题意得：f(x)g(x)g(x)f(x)axax2，联立 f(x)g(x)axax2，求解得：g(x)2，f(x)axax。故 a2，f(2)2222414154。答案：C考点三 函数的周期性及应用【典例 3】(1)x 为实数，x表示不超过 x 的最大整数，则函数 f(x)xx在 R 上为()A奇函数 B偶函数C增函数 D周期函数(2)设 f(x)是以 2 为
15、周期的函数，且当 x1,3)时，f(x)x2，则f(1)_。解析：(1)由图象可知选 D。(2)因为 T2，则 f(x)f(x2)，又 f(1)f(12)f(1)，因为x1,3)时，f(x)x2，所以 f(1)f(1)121。答案：(1)D(2)1悟技法函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明 f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T。(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则kT(kZ 且 k0)也是函数的周期。通一类5已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)fx
16、32，且 f(1)3，则 f(2 014)_。解析：因为 f(x)fx32，所以 f(x3)fx32 32fx32 f(x)。所以 f(x)是以 3 为周期的周期函数。则 f(2 014)f(67131)f(1)3。答案：36设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则f(99)_。解析：因为 f(x)f(x2)13，所以 f(x2)13fx，则有 f(x4)13fx2 1313fxf(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(99)f(2541)f(1)13f1132。答案：132考点四 函数性质的综合应用【典例 4】(1)已知奇函数 f(
17、x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，则满足 f(1m)f(1m2)0 的实数 m 的取值范围是_。(2)已知 f(x)是定义在 R 上的函数，对任意 xR 都有 f(x4)f(x)2f(2)，若函数 f(x1)的图象关于直线 x1 对称，且 f(1)2，则 f(2011)等于()A2 B3C2 D31,1)A解析：(1)f(x)的定义域为2,2，21m221m22，解得1m 3。又 f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1。综合可知，1m1。(2)由于函数 f(x1)的图象关于直线 x1 对称，所以函数 f(x)
18、的图象关于直线 x0 对称，即函数 f(x)是偶函数，所以 f(2)f(2)，在 f(x4)f(x)2f(2)中，令 x2 得 f(2)f(2)2f(2)，所以 f(2)0，于是 f(x4)f(x)，即函数 f(x)的周期等于 4，于是 f(2011)f(1)f(1)2，故选 A。悟技法1奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用这一结论可能把“分散”在关于原点对称区间上的自变量的值转化到同一个区间上。以便“脱掉”对应法则“f”，这是解决奇偶性与单调性综合问题的关键。2函数的周期性起着自变量“由大变小”的作用，奇偶性起着自变量“正负互化”的
19、作用，这两个作用是解决周期性与奇偶性综合问题的关键。通一类7设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)2x(1x)，则 f52 等于()A12 B14C.14D.12解析：f(x)是周期为 2 的奇函数，f52 f522 f12 f12212112 12。答案：A8已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x)x24x，那么，不等式 f(x2)5 的解集是_。解析：当 x0 时，令 x24x5，解得，0 x5。又因为 f(x)为定义域为 R 的偶函数，则不等式 f(x2)5 等价于5x25，即7x3；故解集为(7,3)。答案：(7,3)高考模拟1.(2015
20、福建卷)下列函数为奇函数的是()Ay x By|sinx|CycosxDyexex解析：因为函数 y x的定义域为0，)，不关于原点对称，所以函数 y x为非奇非偶函数，排除 A；因为 y|sinx|为偶函数，所以排除 B；因为 ycosx 为偶函数，所以排除 C；因为 yf(x)e xex，f(x)exex(exex)f(x)，所以函数 yexex 为奇函数，故选 D。答案：D2(2016江西联考)设 f(x)lg21xa 是奇函数，则使 f(x)0 的x 的取值范围是()A(1,0)B(0,1)C(，0)D(，0)(1，)解析：因为函数 f(x)lg21xa 为奇函数，且在 x0 处有定义
21、，故 f(0)0，即 lg(2a)0，a1.故函数 f(x)lg21x1 lg1x1x.令 f(x)0 得 01x1x1，即 x(1,0)。答案：A3(2016邹城模拟)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x2xb(b 为常数)，则 f(1)()A3 B1C1 D3解析：因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，因此 f(x)f(x)0。当x0 时，可得 f(0)0，可得 b1，此时 f(x)2x2x1，因此 f(1)3.又 f(1)f(1)，所以 f(1)3。答案：D4(2016重庆一模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，f(x)f(x4)，且 x
22、(1,0)时，f(x)2x15，则 f(log220)()A1 B.45C1 D45解析：log220(4,5)，log2204(0,1)，4log220(1,0)。又定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，f(x)f(x4)，f(log220)f(log2204)f(4log220)。x(1,0)时，f(x)2x15，f(4log220)24log 202 15242log 202151620151，故 f(log220)1，故选 C。答案：C5(2015课标卷)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_。解析：由题意得 f(x)xln(x ax2)f(x)xln(ax2x)，所以 ax2x1ax2x，解得 a1。答案：1