1、考纲要求1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系考情分析1.本节是高考重点考查的内容，涉及等差数列的定义、等差中项、通项公式、前 n 项和公式及性质等内容2命题形式多种多样，一般以选择题或填空题的形式考查等差数列的基本运算与简单性质，解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查 小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列。()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意
2、 nN*，都有 2an1anan2。()(3)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的。()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数。()(5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数。()解析：(1)错误。若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列。(2)正确。如果数列an为等差数列，根据定义 an2an1an1an，即 2an1anan2；反之，若对任意 nN*，都有 2an1anan2，则 an2an1an1ananan1a2a1，根据定义数列an为等差数列。(3)正确。当 d0 时为递增数列；d0 时为常数列；
3、d0 时为递减数列。(4)错误。根据等差数列的通项公式，ana1(n1)ddn(a1d)，只有当 d0 时，等差数列的通项公式才是 n 的一次函数，否则不是。(5)错误。根据等差数列的前 n 项和公式 Snna1nn12dd2n2a1d2 n，显然只有公差 d0 时才是关于 n 的常数项为 0 的二次函数，否则不是(甚至也不是 n 的一次函数，即 a1d0 时)。2在等差数列an中，a1a910，则 a5 的值为()A5 B6C8 D10解析：依题意得 a1a92a510，a55，选 A。答案：A3在等差数列an中，已知 a12，a2a313，则 a4a5a6等于()A40 B42C43 D4
4、5解析：设等差数列an的公差为 d，则由 a12，a2a313，可解得：d3，所以 a4a5a63a112d42.故选 B。答案：B4设an为等差数列，公差 d2，Sn 为其前 n 项和。若 S10S11，则 a1()A18 B20C22 D24解析：由 S10S11，得 a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20。答案：B5 在等差数列 an中，a3a737，则 a2a4a6a8_。解析：依题意得 a2a4a6a8(a2a8)(a4a6)2(a3a7)74。答案：74知识重温一、必记 5个知识点1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等
5、于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，一般用字母 d 表示；定义的表达式为：_(nN*)。2等差数列的通项公式设等差数列an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an_。等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数形的函数。同一个常数公差an1anda1(n1)d3等差中项若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且 A_。4等差数列的前 n 项和公式若已知首项 a1 和末项 an，则 Sn_，或等差数列an的首项是 a1，公差是 d 则其前 n 项和公式为 Sn_。等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数形的函数且无常数项。ab2na1an
6、2na1nn12d5等差数列与等差数列各项的和有关性质(1)aman(mn)d 或amanmn d。(m、nN*)(2)在等差数列中，若 pqmn，则有 apaqaman；若 2mpq，则有 apaq_，(p，q，m，nN*)。(3)d0an是递增数列，Sn 有最小值；d0an是递减数列，Sn 有最大值；d0an是常数数列。(4)数列anb仍为等差数列，公差为 d。(5)若bn，an都是等差数列，则anbn仍为等差数列。2am(6)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为 kd。(7)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列。(8)S2n1(2n1)an。(9)若 n
7、为偶数，则 S 偶S 奇n2d。若 n 为奇数，则 S 奇S 偶a 中(中间项)。二、必明 2个易误点1要注意概念中的“从第 2 项起”。如果一个数列不是从第 2项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列。2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别。考点一 等差数列的基本运算【典例 1】已知等差数列an中，a11，a33。(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值。解析：(1)设等差数列an的公差为 d，则 ana1(n1)d。由 a11，a33，可得 12d3。解得 d2。从而 an1(n1)(2
8、)32n。(2)由(1)可知 an32n。所以 Snn132n22nn2。进而由 Sk35 可得 2kk235。即 k22k350，解得 k7 或 k5。又 kN*，故 k7。悟技法等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公差为 d，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解。(2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想。通一类1已知等差数列an满足 a2a44，a3a510，则它的前 10项的和 S10()A85 B135C95 D23解析：设等差数列an的首项为
9、a1，公差为 d，则2a14d42a16d10，解得a14d3。S1010(4)1092395。答案：C2记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a112，S420，则 S6()A16 B24C36 D48解析：设公差为 d，由a112S420，得a1124a16d20，解得a112d3，则 S6612652 348。答案：D考点二 等差数列的判定与证明【典例 2】若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112。(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列an的通项公式。解析：(1)证明：当 n2 时，由 an2SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以 1
10、Sn 1Sn12，又 1S1 1a12，故1Sn是首项为 2，公差为 2 的等差数列。(2)由(1)可得 1Sn2n，Sn 12n。当 n2 时anSnSn1 12n12n1n1n2nn112nn1。当 n1 时，a112不适合上式。故 an12，n112nn1，n2。悟技法等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数 n 都有 an1an等于同一个常数。(2)等差中项法：证明对任意正整数 n 都有 2an1anan2后，可递推得出 an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列。(3)通项公式法：得出 anpnq 后，得 an1anp 对任意正整
11、数n 恒成立，根据定义判定数列an为等差数列。(4)前 n 项和公式法：得出 SnAn2Bn 后，根据 Sn，an的关系，得出 an，再使用定义法证明数列an为等差数列。提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式和前 n 项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判断。通一类3设数列an中，Sn 是数列an的前 n 项和，a11，且 an 2S2n2Sn1(n2)。证明数列 1Sn是等差数列，并求 Sn。解析：由已知得 SnSn1 2S2n2Sn1。去分母得(2Sn1)(SnSn1)2S2n，Sn1Sn2SnSn1，两边同除以 SnSn1，得 1Sn 1Sn12。1Sn
12、是以 1S1 1a11 为首项、以 2 为公差的等差数列，故 1Sn 1S1(n1)22n1(n2)。经验证 n1 时也成立，所以 Sn12n1(nN*)。考点三 等差数列的性质及其应用【典例 3】设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，S84a3，a72，则 a9()A6 B4C2 D2(2)在等差数列an中，前 m 项的和为 30，前 2m 项的和为 100，则前 3m 项的和为_。A210解析：(1)S84a38a1a824a3a3a6a3，a60，d2，a9a72d246。(2)记数列an的前 n 项和为 Sn，由等差数列前 n 项和的性质知 Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，
13、则 2(S2mSm)Sm(S3mS2m)，又 Sm30，S2m100，所以 S2mSm1003070，所以 S3mS2m2(S2mSm)Sm110，所以 S3m110100210。悟技法(1)等差数列通项性质的应用要注意观察数列各项的项数之间“和”相等的关系，找到解题的切入点。(2)等差数列前 n 项和性质的应用要注意深刻理解“依次 k 项之和成等差数列”的真正含义，然后列方程求解。通一类4在等差数列an中。若共有 n 项，且前四项之和为 21，后四项之和为 67，前 n 项和 Sn286，则 n_。解析：依题意知 a1a2a3a421，anan1an2an367。由等差数列的性质知 a1an
14、a2an1a3an2a4an3，4(a1an)88，a1an22。又 Snna1an2，即 286n222，n26。答案：265已知等差数列an中，S39，S636，则 a7a8a9_。解析：an为等差数列，S3，S6S3，S9S6成等差数列，2(S6S3)S3(S9S6)。a7a8a9S9S62(S6S3)S32(369)945。答案：45考点四 等差数列前 n 项和的最值【典例 4】已知数列an满足 2an1anan2(nN*)，它的前 n项和为 Sn，且 a310，S672。若 bn12an30，求数列bn的前 n 项和的最小值。解析：2an1anan2，an是等差数列，设an的首项为
15、a1，公差为 d，由 a310，S672，得a12d106a115d72，a12d4，an4n2。则 bn12an302n31。解2n3102n1310，得292 n312。nN*，n15。bn前 15 项为负值，S15最小，可知 b129，d2，S1515292153121560302225。悟技法若an是等差数列，求前 n 项和的最值时，若 a10，d0，且满足an0an10，前 n 项和 Sn 最大；若 a10，d0，且满足an0an10，前 n 项和 Sn 最小；除上面方法外，还可将an的前 n 项和的最值问题看作 Sn关于 n 的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解。通一类6
16、设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a312，S120，S130。(1)求公差 d 的取值范围；(2)指出 S1、S2、S12 中哪一个值最大，说明理由。解析：(1)由a3a12d12S1212a112112d0S1313a113122d0，得247 d3。(2)S126(a1a12)6(a6a7)0，S1313a1a13213a70，a60 且 a70，故 S6 最大。高考模拟1(2016太原模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a4a7a109，S14S377，则使 Sn 取得最小值时 n 的值为()A4 B5C6 D7解析：a4a7a109，3a79，a73。又S14S3
17、77，a4a5a1477，11a977，a97，2da9a74，d2，ana72(n7)2n11.令 an0，得 n112，使 Sn取得最小值时 n 的值为 5，选 B。答案：B2(2016济南模拟)在等差数列an中，a2a632，则 sin2a43()A.32 B.22C.12 D12解析：因为 a2a632，所以 2a432，所以 sin2a43 sin32 3 cos312。答案：D3(2016成都模拟)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S150，S160，得 a80。由 S1616a1a16216a9a820，得 a9a80，所以 a90，且d0，则S6a60，S7a70，
18、S8a80，S9a9S7S6，a8a7a6，则S6a6S7a7S8a8，所以最大的项为S8a8，故选 D。答案：D4(2016吉林模拟)设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意正整数 n 都有SnTn2n34n3，则a9b5b7a3b8b4的值为_。解析：因为an，bn为等差数列，所以a9b5b7a3b8b4 a92b6 a32b6a9a32b6 a6b6，因为S11T11a1a11b1b112a62b6211341131941，所以a6b61941。答案：19415(2015陕西卷)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为_。解析：设等差数列的首项为 a1，根据等差数列的性质可得，a12 01521 010，解得 a15。答案：5