1、考纲要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数考情分析1.本节在高考中主要考查简单数列的通项公式的求解、数列的前 n项和 Sn 与通项 an 的关系以及简单的递推数列等问题2命题形式多种多样，三种题型都有可能出现，试题难度中等 小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列an和集合a1，a2，a3，an表达的意义相同。()(2)所有数列的第 n 项都能使用公式表达。()(3)如果数列an的前 n 项和为 Sn，则对nN*，都有 an1Sn1Sn。()(4)在数列an中，对于任意正整数 m，n，amnamn1，若 a1
2、1，则 a22。()(5)若已知数列an的递推公式为 an112an1，且 a21，则可以写出数列an的任何一项。()解析：(1)错误。数列an是表示按照一定顺序排列的一列数，为a1，a2，a3，an。而集合a1，a2，a3，an只表明该集合中有 n个元素，数列中的项有顺序，集合中的元素没有顺序。(2)错误。不是所有的数列的第 n 项都能使用公式直接表达。(3)正确。根据数列的前 n 项和的定义可知。(4)正确。在 amnamn1 中，令 mn1 得 a2a11112。(5)正确。在已知递推公式中，令 n1 得 a212a11，而 a21 解得 a11。同理可得 an1。2数列 2、5、2 2
3、、，则 2 5是该数列的()A第 6 项B第 7 项C第 10 项D第 11 项解析：原数列可写成 2、5、8，2 5 20，202(n1)3，n7。答案：B3已知数列an的通项公式是 an 2n3n1，那么这个数列是()A递增数列B递减数列C摆动数列D常数列解析：an1an 2n13n11 2n3n123n113n10，an1an，数列an为递增数列。答案：A4在数列an中，a11，an11nan1(n2)，则 a5()A.32B.53C.85D.23解析：由已知得：a21 1a11112，a31 1a211212，a41 1a311123，a51 1a411323。答案：D5已知数列n2n
4、21，则 0.98 是它的第_项。解析：n2n210.984950，n7。答案：7知识重温一、必记 5个知识点1数列的有关概念概念含义数列按照_排列的一列数数列的项数列中的_数列的通项数列an的第 n 项 an通项公式数列an的第 n 项 an 与 n 之间的关系能用公式_表示，这个公式叫做数列的通项公式前 n 项和数列an中，Sn_叫做数列的前 n 项和一定顺序每一个数anf(n)a1a2an2.数列的表示方法列表法列表格表示 n 与 an 的对应关系图象法把点_画在平面直角坐标系中通项公式把数列的通项使用_表示的方法公式法递推公式使用初始值 a1 和 an1f(an)或 a1，a2 和 a
5、n1f(an，an1)等表示数列的方法(n，an)公式3.an 与 Sn 的关系若数列an的前 n 项和为 Sn，则 an ，n1 ，n2。S1SnSn14数列的分类an1anan1an5.常见数列的通项公式自然数列：(1,2,3,4，)ann；奇数列：(1,3,5,7，)an2n1；偶数列：(2,4,6,8，)an2n；平方数列：(1,4,9,16，)ann2；2 的乘方数列：(2,4,8,16，)an2n；倒数列：1，12，13，14，an1n；乘积数列：(2,6,12,20，)可化为(12,23,34,45，)ann(n1)；重复数串列：(9,99,999,9 999，)an10n1；(
6、0,9,0.99,0.999,0.999 9，)an110n；符号调整数列：(1,1，1,1，)an(1)n。二、必明 2个易误点1数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关。2易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式【典例 1】根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)23，415，635，863，1099，；(3)12，2，92，8，252，；(4)5,55,555,5 555，。解析：(1)偶数
7、项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an(1)n(6n5)。(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积。知所求数列的一个通项公式为 an2n2n12n1。(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察。即12，42，92，162，252，从而可得数列的一个通项公式为 ann22。(4)将原数列改写为599，5999，59999，易知数列 9,99,999，的通项为 10n1，故所求的数列的一个通
8、项公式为 an59(10n1)。悟技法用观察法求数列的通项公式的方法(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要遵循先整体再局部再整体的观察次序，以常见的基本数列为基础，如自然数列、奇数列、偶数列、变号数列(1)n 或(1)n1)等，注意观察项与其项数 n之间的关系，同时，可以采取诸如添项、通分、分割等办法转化为一些常见数列；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想。通一类1下列公式可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是()Aan1Ban1n12Can2sinn2Dan1n132解析：由 an2sinn2 可得 a11，a22，
9、a31，a42，。答案：C考点二 由 an 与 Sn 的关系求通项 an【典例 2】已知数列an的前 n 项和 Sn，分别求它们的通项公式an。(1)Sn2n23n。(2)Sn3n1。解析：(1)由题可知，当 n1 时，a1S1212315，当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1。当 n1 时，4115a1，所以 an4n1。(2)当 n1 时，a1S1314，当 n2 时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1。当 n1 时，23112a1，所以 an4，n123n1，n2，nN*。悟技法已知 Sn 求 an 的三个步骤(1)先利用 a1S1求出 a1。
10、(2)用 n1 替换 Sn中 n 得到一个新的关系，利用 anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时 an的表达式。(3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写。通一类2已知数列an的前 n 项和 Sn3n22n1，则其通项公式为_。解析：当 n1 时，a1S13122112；当 n2 时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5。显然当 n1 时，不满足上式，故数列的通项公式为 an2，n16n5，n2。答案：an2，n16n5，n2考点三 由递推关系式求通项公式【典
11、例 3】根据下列条件，确定数列an的通项公式。(1)a11，an13an2；(2)a11，ann1n an1(n2)；(3)已知数列an满足 an1an3n2，且 a12，求 an。解析：(1)an13an2，an113(an1)，an11an1 3，数列an1为等比数列，公比 q3，又 a112，an123n1，an23n11。(2)ann1n an1(n2)，an1n2n1an2，a212a1。以上(n1)个式子相乘得 ana11223n1n a1n 1n。(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan 1)(an 1an 2)(a2a1)a1n3n12(n2)。当 n1
12、 时，a112(311)2 符合公式，an32n2n2。悟技法由递推关系式求通项公式的类型与方法已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解。当出现 anan1m 时，构造等差数列；当出现 anxan1y时，构造等比数列；当出现 anan1f(n)时，用累加法求解；当出现anan1f(n)时，用累乘法求解。通一类3(1)在数列an中，a12，an1anln11n，则 an 等于()A2ln nB2(n1)ln nC2nln nD1nln n(2)若数列an满足 a11，an12nan，则数列an的通项公式 an_。A21n(n-1)2解析：(1)由已知，an1anlnn1n
13、，a12，所以 anan1ln nn1(n2)，an1an2lnn1n2，a2a1ln21，将以上 n1 个式子叠加，得ana1ln nn1lnn1n2ln21lnnn1n1n221 ln n。所以 an2ln n(n2)，经检验 n1 时也适合。故选 A。(2)由于an1an 2n，故a2a121，a3a222，anan12n1，将这 n1个等式叠乘得ana1212(n1)21n(n-1)2，故 an21n(n-1)2。考点四 数列的性质及其应用【典例 4】(1)已知 ann1n1，那么数列an是()A递减数列B递增数列C常数列D摆动数列(2)(2016哈尔滨模拟)数列an满足 an12an
14、，0an122an1，12an0，所以 an1an，所以数列an是递增数列。(2)因为 a135，所以 a22a1115，所以 a32a225，所以 a42a345，a52a4135，a62a5115，所以该数列的周期 T4。而 2 01545033，所以 a2 015a325。悟技法1解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据 an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列。(2)用作商比较法，根据an1an(an0 或 an0)与 1 的大小关系进行判断。(3)结合相应函数的图象直观判断。2解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期
15、，再根据周期性求值。通一类4设数列an满足：a12，an11 1an，记数列an的前 n 项之积为 Tr，则 T2 014 的值为()A12B1C.12D2解析：由 a212，a31，a42 可知，数列an是周期为 3 的周期数列，从而 T2 014T2 013a1(1)67122。答案：D高考模拟1(2016深圳模拟)数列 0，23，45，67，的一个通项公式为()Aann1n1(nN*)Ban n12n1(nN*)Can2n12n1(nN*)Dan 2n2n1(nN*)解析：因为 a10，排除选项 D。因为 a223，排除选项 A，B，只有选项 C 符合。答案：C2(2016安阳模拟)下列
16、关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是()Aann2n1Bannn12Cannn12Dannn22解析：从图中可观察星星的构成规律，n1 时，有 1 个；n2时，有 3 个；n3 时，有 6 个；n4 时，有 10 个；an1234nnn12。答案：C3(2016武汉模拟)已知数列xn满足 xn3xn，xn2|xn1xn|(nN*)，若 x11，x2a(a1 且 a0)，则数列xn的前 2 015 项的和S2 015 为()A671B670C1 342D1 344解析：由题意 x11，x2a，x3|x2x1|a1|1a，x4|1aa|12a|，又 x4x1，所以|12a|1，又因为
17、 a0，所以 a1。所以此数列为：1,1,0,1,1,0，其周期为 3。所以 S2 015S67132671221 344。答案：D4(2015课标全国卷)设 Sn 是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_。解析：an1SnSn1，Sn1SnSnSn1。两边同时除以 SnSn1，得 1Sn1 1Sn1。又 1S1 1a11，1Sn 是首项为1，公差为1 的等差数列。1Sn1(n1)(1)n，Sn1n。答案：1n5(2015江苏卷)数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列1an 的前 10 项和为_。解析：因为 an1ann1，所以 n2 时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)11nn2。又 a11 适合上式，所以 annn12(nN*)，所以 1an2nn121n 1n1，所以 1a1 1a2 1a102112 1213 110 111 2011。答案：2011
