1、3.3幂函数学 习 目 标核 心 素 养1.了解幂函数的概念，会画出幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象(重点)2能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质(难点)3会用几个常见的幂函数性质比较大小(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.1幂函数的概念一般地，我们把形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数2幂函数的图象和性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0，)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(，)上单调递增在(，0上单调递减，在0，)上单调递增在(，)上单调递增在0，)上单调
2、递增在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数的图象不经过第四象限()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点()(3)指数函数yax的定义域为R，与底数a无关，幂函数yx的定义域为R，与指数也无关()答案(1)(2)(3)提示(1)由幂函数的一般式yx(为常数)及图象可知，当x0时，y0，即图象不经过第四象限(2)yx1不经过(0,0)点，故错误(3)yx，定义域为0，)，与指数有关，故错误2若ymx(2n4)是幂函数，则mn_.
3、3由题意得所以mn3.3已知幂函数f(x)x的图象经过点(2,8)，则f(2)_.882，所以3，所以f(x)x3，f(2)(2)38.幂函数的概念【例1】已知y(m22m2)x2n3是幂函数，求m，n的值思路点拨：由幂函数的定义列式求解解由题意得解得m3，n为所求1幂函数yx要满足三个特征(1)幂x前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项2求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)x，根据条件求出.1下列函数是幂函数的有_(填序号)yx2x；y2x2；yx；yx21；y；yx.根据幂函数的定义，只有符合题意2已知幂函数f(x)x的图象经过，则f(100)
4、_.由题知22，.f(x)x，f(100)100.比较大小【例2】比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)与；(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较解(1)yx是0，)上的增函数，且，.(2)yx1是(，0)上的减函数，且.(3)0.252，6.252.5.yx是0，)上的增函数，且22.5，22.5，即0.256.25.(4)由幂函数的单调性，知0.20.60.30.6，从而0.20.60.30.4.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指
5、数函数；(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量3比较下列各组中两个数的大小：(1)3，3.1；(2)a1.5，(a1)1.5(a0)；(3)(0.88)，(0.89).解(1)因为函数yx在(0，)内是减函数，所以33.1.(2)函数yx1.5在(0，)内是增函数，又a0，a1a，所以(a1)1.5a1.5.(3)函数yx 在R上为增函数，所以(0.88)(0.89).幂函数的图象与性质探究问题1做幂函数yx的图象应该怎么做？提示因为01，故函数yx在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在yx的上方，在(1，)上应在yx的下方函数的定义域为R，且
6、为偶函数，故将y轴右侧的图象关于y轴对称到y轴左侧，即得到yx的图象(略)2从上述过程能否归纳出作幂函数yx的图象的步骤？提示先看，按0,01来分类(0，1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象3作出yx的图象(草图)，并说明若xy时，x，y与0的大小关系有多少种？提示yx在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，从图象可以看出，若xy，则有以下情况0xy；xy0y.【例3】已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，求满足(a1)(32a)的a的取值范围思路点拨：解
7、函数在(0，)上递减，3m90，解得m3.又mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，故m1.有(a1)32a0或0a132a，或a1032a，解得a或ax，则x的取值范围是_(，0)(1，)作出函数yx2和yx的图象(如图所示)，易得x1.1幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量2幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小3简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.
8、(2)如果0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)如果0，幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数1下列所给出的函数中，是幂函数的是()Ayx3Byx3Cy2x3Dyx31.A幂函数是形如yx的函数，观察四个函数只有A中函数是幂函数2已知幂函数yx的图象过点(2，)，则f(4)的值是_2将点(2，)代入幂函数可得f(2)2，解得，即幂函数为f(x)x，可得f(4)42.3下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是_(填序号)(1)yx；(2)yx4；(3)yx1；(4)yx3.(2)(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数，只有(2)符合题意4设a，b，c，比较a，b，c的大小关系解f(x)在R上为减函数，即a，即ac，所以bac.