1、第3讲 基本初等函数 第3讲 基本初等函数 主干知识整合第3讲 主干知识整合 1二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象和性质(1)二次函数的图象二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象是抛物线，对称轴方程是 x b2a，顶点坐标是 b2a，4acb24a.当 b24ac0 时，设 f(x)ax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两交点为 M(x1,0)，N(x2,0)，则有|x1x2|b24ac|a|.第3讲 主干知识整合 (2)二次函数的性质当 a0 时，函数 f(x)ax2bxc 的值域是4acb24a，它在 b2a，上是增函数，在，b2a 上是减函数；当 a0 时，函数 f(x)
2、ax2bxc 的值域是，4acb24a，它在，b2a 上是增函数，在 b2a，上是减函数 第3讲 主干知识整合 2指数函数 yax(a0，a1)的图象和性质(1)图象：均过定点(0,1)，图象均在第一和第二两个象限；若底数 a1，则图象是上升的，若底数 0a1，则图象是下降的但虽然底数都大于 1(或者都大于 0 小于 1)，底数取不同的值，其图象“高低”仍不相同，此时，我们可以根据指数函数 yax 的图象一定过点(1，a)加以区分，显然，在 y 轴右侧，底数越大，则图象的位置越靠上(2)性质：定义域均为 R；值域均为(0，)；当 a1 时为增函数，当 0a1 时为减函数第3讲 主干知识整合 3
3、对数函数 ylogax(a0，a1)的图象和性质(1)图象：均过定点(1,0)，且图象均在第一和第四象限当底数 a1 时，图象从左往右都是逐渐上升的，而且 a 越大，图象越接近于 x 轴；当底数 0a1 时，图象从左往右都是逐渐下降的，而且 a 越小，图象越接近于 x 轴我们可以根据对数函数 ylogax 一定过点(a,1)，判断图象与底数大小的对应关系(2)性质：定义域均为(0，)，值域均为 R；当 a1 时为增函数，当 0a0，则x1 时，f(x)1log2x12 恒成立，故 x 的取值范围是0，)，故选 D.【点评】本题考查分段函数的定义，以及简单的指数不等式和对数不等式的解法研究分段函
4、数的不等式问题要讨论各个“段”，且同时还要考虑使各段都满足对应的变量限制条件，这是分段函数容易漏掉的问题第3讲 要点热点探究 若 a120.3，b0.32，clog122，则 a，b，c 的大小关系为()AacbBacb CcbaDbacD【解析】0120.31201，即 0a1；0.320.301，即 b1；而 clog1221，因此 bac.第3讲 要点热点探究 探究点三 指数函数、对数函数的图象应用例 3 2011课标全国卷 已知函数 yf(x)的周期为 2，当 x1,1时 f(x)x2，那么函数 yf(x)的图象与函数 y|lgx|的图象的交点共有()A10 个B9 个C8 个D1 个
5、【分析】【分析】求两个函数图象的交点个数，只需在同一个直角坐标系中画出它们的图象，便可以直观地得到结论 第3讲 要点热点探究 A【解析】由题意作出函数图象如图，由图象知共有 10个交点 第3讲 要点热点探究【点评】本题考查函数周期性、奇偶性等性质，以研究两函数图象的交点个数为载体，考查数形结合思想函数的图象是解决函数问题的重要辅助手段，函数的性质可以借助图象的直观性理解一些有关数或式的大小比较、方程交点个数等选择、填空题，利用函数的图象可以快速得到解答 第3讲 要点热点探究 若实数 t 满足 f(t)t，则称 t 是函数 f(x)的一个次不动点设函数 f(x)lnx 与函数 g(x)ex(其中
6、 e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m，则()Am0Bm0 C0m1Dm1第3讲 要点热点探究 B【解析】在同一直角坐标系中画出函数 ylnx与 yx 的图象，其图象有唯一公共点(t，t)，即有 lntt，ett，于是有点(t，t)是函数 yex 与 yx 的图象的交点，因此函数 f(x)lnx 与 g(x)ex 的次不动点必是成对出现，且两者互为相反数，m0.第3讲 要点热点探究 探究点四 函数的应用问题例 42011湖北卷 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达
7、到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度x 的一次函数(1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式；(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时)第3讲 要点热点探究【分析】先根据题意列出函数 v(x)的表达式，再根据函数式的结构特点求函数的最大值【解答】(1)由题意：当 0 x20 时，v(x)60；当 20 x200时，设 v(x)ax
8、b，再由已知得200ab0，20ab60，解得a13，b2003.故函数 v(x)的表达式为 v(x)60，0 x20，13200 x，20 x200.第3讲 要点热点探究(2)依题意并由(1)可得 f(x)60 x，0 x20，13x200 x，20 x200.当 0 x20 时，f(x)为增函数，故当 x20 时，其最大值为 60201200；当 20 x200 时，f(x)13x(200 x)13x200 x22100003.当且仅当 x200 x，即 x100 时，等号成立所以，当 x100 时，f(x)在区间20,200上取得最大值100003.综上，当 x100 时，f(x)在区间
9、0,200上取得最大值1000033333.即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时 第3讲 要点热点探究【点评】本题考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力解实际应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化成数学问题，然后再用相应的数学知识去解决本题涉及分段函数的最值，处理时一定要逐段进行讨论，对两段的结果进行比较后最后选择正确结论 第3讲 要点热点探究 市政府为招商引资，决定对外资企业第一年的产品免税某外资厂该年 A 型产品出厂价为每件 60 元，年销售量为 11.8 万件第二年该地政府开始对该商品征收税率
10、为 p%(0p100，即销售 100 元要征收 p 元)的税收，于是该产品的出厂价上升为每件 8000100p元，预计年销售量将减少 p 万件(1)将第二年政府对该商品征收的税收 y(万元)表示成 p 的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使第二年该厂的税收不少于 16 万元，则税收 p%的范围是多少？(3)在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则 p 应为多少？第3讲 要点热点探究【解答】(1)依题意，该商品第二年的年销售量为(11.8p)万件，年销售收入为 8000100p(11.8p)万元，政府对该商品征收的税收 y 8000100p(11.8p)p%
11、(万元)，故所求函数为 y80100p(11.8p)p.由 11.8p0 及 p0，得 0p11.8，即该函数的定义域为p|0p11.8第3讲 要点热点探究(2)由 y16，得80100p(11.8p)p16，化简得 p212p200，解得 2p10.故当税率在0.02,0.1内时，第二年该厂的税收不少于 16 万元(3)由(2)知，在第二年该厂的税收不少于 16 万元时，厂家的年销售收入为 g(p)8000100p(11.8p)(2p10)g(p)8000100p(11.8p)80010 882100p 在2,10上是减函数，g(p)maxg(2)800.故当税率为 2%时，厂家获得的销售金
12、额最大规律技巧提炼第3讲 规律技巧提炼 1二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它们只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得函数 f(x)a(xh)2k(a0)在区间m，n上的最值情况如下：(1)当 a0 时，若 hm，n，则 yminf(h)k，ymaxmaxf(m)，f(n)；若 hm，n，则 yminminf(m)，f(n)，ymaxmaxf(m)，f(n)(2)当 a0 时，若 hm，n，则 yminminf(m)，f(n)，ymaxf(h)k；若 hm，n，则 yminminf(m)，f(n)，ymaxmaxf(m)，f(n)第3讲 规律技巧提炼 2指数函数 yax(a0，a1)与对数
13、函数 ylogax(a0，a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx 对称由于在反函数中是交换了 x，y 的位置，故互为反函数的两个函数的定义域和值域互换，即函数的值域是其反函数的定义域，函数的定义域是其反函数的值域第3讲 规律技巧提炼 3求解函数应用问题的一般步骤：(1)读题：正确审题，深刻理解题意，弄清已知什么，求解什么，需要什么(2)建模：通过设元，将实际问题转化为数学关系式或建立数学模型(3)求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出(4)反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况，并正确作答第3讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：例 1 可作要点热点探究中例 2 的补充题本题是一道
14、指数函数与对数函数的最值问题，补充例2只研究了指数函数和对数函数的单调性的不足；例 2 可作要点热点探究中例 4 的补充题本题将物理学科中的平抛运动应用到研究排球击球是否触网，即体现学科综合，又进一步巩固和落实函数知识在实际生活问题中的应用第3讲 教师备用例题 例 1 已知函数 f(x)axlogax(a0 且 a1)在1,2上的最大值与最小值之和为 loga26，则 a 的值为()A.12 B.14C2 D4【解析】C 由题意可知函数 f(x)axlogax 在1,2上是单调函数，其最大值与最小值之和为 f(1)f(2)aloga1a2loga2loga26，整理，得 a2a60，解得 a2
15、 或 a3(舍去)，故所求 a 的值为 2.第3讲 教师备用例题 例 2 排球场总长度为 18 m，网高为 2 m，运动员站在离网 3 m远的 O 处，面对球网竖直跳起，将球向正前方水平击出，设排球在运动过程中与地面的距离为 y m，离开击球点 A 的总的水平距离为 xm，若击球点 A 的高度为 h m，运动员将排球向前击出的速度为 v0m/s(不计空气阻力，取重力加速度 g10 m/s2)提示：平抛运动曲线规律xv0t，yh12gt2，)t 为时间(单位：s)(1)在排球不触网的情况下，将 y 表示为 x 的函数；(2)试问 h 在什么范围内变化时，对于任意 v09,12，排球既不触网也不出边界？第3讲 教师备用例题【解答】(1)xv0t，yh12gt2，)g10，yh12gxv02h5x2v20.要不触网，需 x3 时，y2，即 h245v20.又 y0，解得 0 x 5h5 v0.yh5x2v20 0 x 5h5 v0，h245v20.(2)由(1)知，不触网时 h245v20；球不出界，则 x12.对任意 v09,12，排球既不触网也不出边界，即对任意 v09,12，要恒成立245v20 max24581239，xmax 5h5 12，于是，由得 h239；由得 h5.故 h 的取值范围是239，5.