1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A2B1C4D8【解析】抛物线y22px(p0)的准线为x，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以68，所以p4，即焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.【答案】C2抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为()A2 B4 C6 D4【解析】据题意知，FPM为等边三角形，|PF|PM|FM|，PM抛物线的准线设P，则M(1，m
2、)，等边三角形边长为1，又由F(1,0)，|PM|FM|，得1，得m2，等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.【答案】D3已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得得，(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)又y1y24，k1，p2.所求抛物线的准线方程为x1.【答案】B4设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A. B6 C12 D7【解析】焦点F的坐标为，直线A
3、B的斜率为，所以直线AB的方程为y，即yx，代入y23x，得x2x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x212，故选C.【答案】C5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x26，那么|AB|等于()A10 B8 C6 D4【解析】由题意知p2，|AB|x1x2p8.故选B.【答案】B二、填空题6抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_【解析】设抛物线上点的坐标为(x，)，此点到准线的距离为x，到顶点的距离为，由题意有x，x，y，此点坐标为.【答案】7直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_.【解
4、析】当k0时，直线与抛物线有唯一交点，当k0时，联立方程消去y得k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，k1.【答案】0或18平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_. 【导学号：15460049】【解析】设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y24x.过点P(1,0)，斜率为k的直线为yk(x1)由得ky24y4k0.当k0时，显然不符合题意；当k0时，依题意得(4)24k4k0，解得k1或k0)的焦点为F，过
5、F作倾斜角为30的直线与抛物线交于A，B两点，若(0,1)，则()A. B C D【解析】因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30的直线的方程为yx，与抛物线方程联立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以，故选C.【答案】C2已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k()A. B C D2【解析】由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k的直线的方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x24，所以y1y2k(
6、x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416，因为0，所以(x12)(x22)(y12)(y22)0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k24k40，所以k2，故选D.【答案】D3抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_. 【导学号：15460050】【解析】由于x22py(p0)的准线为y，由解得准线与双曲线x2y23的交点为A，B，所以AB2.由ABF为等边三角形，得ABp，解得p6.【答案】64已知抛物线xy2与过点(1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当OAB的面积等于时，求k的值【解】过点(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)，由方程组消去x，整理得ky2yk0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1y2，y1y21.设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SOAB，解得k或.