1、第六章数列第1讲数列的概念及其表示考纲展示命题探究1数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项(2)数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N*或N*的有限子集1,2,3，n为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值2数列的表示方法列表法列表格表达n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表达的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表达数列的方法3 数列的分类分类
2、原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项注意点数列图象是一些孤立的点数列作为一种特殊的函数，由于它的定义域为正整数集N*或它的有限子集，所以它的图象是一系列孤立的点.1思维辨析(1)数列an和集合a1，a2，a3，an表达的意义相同()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(4)数列：1,0,1,0,1,0，通项公式只能是an.()答案(1)(2)(3)(4)2数列，的一
3、个通项公式为()Aan BanCan Dan答案C解析观察知an.3若数列an中，a13，anan14(n2)，则a2015的值为()A1 B2C3 D4答案C解析因为a13，anan14(n2)，所以a13，a21，a33，a41，显然当n是奇数时，an3，所以a20153.考法综述利用归纳法求数列的通项公式，或给出递推关系式求数列中的项，并研究数列的简单性质命题法数列的概念和表示方法及单调性的判断典例(1)已知数列an的通项公式为ann22n(nN*)，则“0，即2n12对任意的nN*都成立，于是有32，.由1可得，但反过来，由不能得到1，因此“0数列an是单调递增数列；an1an0时，则
4、1数列an是单调递增数列；1数列an是单调递减数列；1数列an是常数列当an1数列an是单调递减数列；1数列an是单调递增数列；1数列an是常数列结合相应函数的图象直观判断数列的单调性1设等差数列an的公差为d，若数列2a1an为递减数列，则()Ad0Ca1d0答案C解析数列2a1an为递减数列，2a1an2a1an1，nN*，a1ana1an1，a1(an1an)0.an为公差为d的等差数列，a1d0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an
5、1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.5正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为an2n.(2)由于an2n，故bn.Tn110恒成立，即k2n1(nN*)恒成
6、立，解得k3.答案k1，nN*，Sn1Sn12(Sn1)都成立，则S10_.答案91解析两式相减得an2an2an1(n2)，数列an从第二项开始为等差数列，当n2时，S3S12S22，a3a224，S10124618191.10.2016枣强中学期中如图所示的图形由小正方形组成，请观察图至图的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是_答案解析由已知，有a11，a23，a36，a410，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，各式相加，得ana123n，即an12n，故第n个图形中小正方形的个数是.112016衡水二中热身已知数列an满足：a11,2n1anan1(nN*，
7、n2)(1)求数列an的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于？解(1)n2时，n1，故ana1n1n22112(n1)，当n1时，a101，即n1时也成立an.(2)y(n1)n在1，)上单调递增，y在1，)上单调递减当n5时，10，an .从第5项开始及以后各项均小于.122016武邑中学仿真设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解(1)依题有解得a13，a25，a37.(2)Sn2nan13n24n，当n2时，Sn12(n1)an3(n1)24(n1)并整理得an1.由(1)猜想
8、an2n1，下面用数学归纳法证明当n1时，a1213，命题成立；假设当nk时，ak2k1命题成立则当nk1时，ak12k32(k1)1，即当nk1时，结论成立综上，nN*，an2n1.能力组13.2016衡水二中预测已知数列an满足条件a1a2a3an2n5，则数列an的通项公式为()Aan2n1 BanCan2n Dan2n2答案B解析由题意可知，数列an满足条件a1a2a3an2n5，则a1a2a3an12(n1)5，n1，两式相减可得：2n52(n1)52，an2n1，n1，nN*.当n1时，7，a114，综上可知，数列an的通项公式为：an故选B.142016枣强中学月考在如图所示的数
9、阵中，第9行的第2个数为_答案66解析每行的第二个数构成一个数列an，由题意知a23，a36，a411，a518，则a3a23，a4a35，a5a47，anan12(n1)12n3，各式两边同时相加，得ana2n22n，即ann22na2n22n3(n2)，故a99229366.152016衡水二中猜题已知数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性解(1)a12，anSnSn12n1(n2)bn.(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cn0，cn是递减数列162016枣强中学预测设a11，an1
10、b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论解(1)a22，a31.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nN*)(2)设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2a31，结论成立假设nk时结论成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31.故ca2k31，因此a2(k1)ca2(k1)11.这就是说，当nk1时结论成立综上，符合条件的c存在，其中一个值为c.