1、2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则z的共轭复数为 （ ）A B C D【答案】D2.设集合，则 （ ）A B C D【答案】B.3.设则 （ ）A B C D【答案】C4.若向量满足：则 （ ）A2 B C1 D【答案】B5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A60种 B70种 C75种 D150种 【答案】C6.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为
2、（ ）A B C D【答案】A7.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）A B C2 D1【答案】C8正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A B C D【答案】A9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）A B C D【答案】A10.等比数列中，则数列的前8项和等于 （ ）A6 B5 C4 D3【答案】C11.已知二面角为，A为垂足，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ）A B C D【答案】B.12.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（ ）A B C D【答案】D.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满
3、分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数为 .（用数字作答）【答案】70.14.设满足约束条件，则的最大值为 .【答案】5.15直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于 .【答案】16.若函数在区间是减函数，则的取值范围是 .【答案】三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求B.解：由题设和正弦定理得又18. （本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数又，故于是，解得
4、，因此，故数列的通项公式为（II），于是19. （本小题满分12分）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，.（I）证明：；（II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面又，平面连结，侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（II）平面平面，故平面平面作为垂足，则平面又直线平面，因而为直线与平面的距离，为的角平分线，故作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角由得为的中点，二面角的大小为解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由题设知与轴平行，轴在平面内（I）设，由题设有则由得，即（）于是（II）设平面
5、的法向量则即故，且令，则，点到平面的距离为又依题设，点到平面的距离为代入解得（舍去）或于是设平面的法向量，则，即，故且令，则又为平面的法向量，故，二面角的大小为20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.解：记表示事件：同一工作日乙、丙恰有人需使用设备，；表示事件：甲需使用设备；表示事件：丁需使用设备；表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（I），又（II）的可能取值为0，1，2，3，4，数学期望21. （本小题满分12分）已
6、知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.解：（I）设，代入，得由题设得，解得（舍去）或，C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得设则故的中点为又的斜率为的方程为将上式代入，并整理得设则故的中点为由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或所求直线的方程为或22. （本小题满分12分）函数.（I）讨论的单调性；（II）设，证明：.解：（I）的定义域为（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数（II）由（I）知，当时，在是增函数当时，即又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，即下面用数学归纳法证明（i）当时，由已知，故结论成立；（ii）假设当时结论成立，即当时，即当时有，结论成立根据（i）、（ii）知对任何结论都成立