1、2.2.2双曲线的几何性质1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)2理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程(重点)3能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(难点)基础初探教材整理双曲线的简单几何性质阅读教材P51P52例1以上部分，完成下列问题1双曲线的简单几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e且e1渐近线yxyx2.等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线其方程的一般形式为x2y2(0)(
2、2)性质：渐近线方程为：yx.离心率为：e.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)双曲线是中心对称图形()(2)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长()(3)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()(4)离心率e越大，双曲线1的渐近线的斜率绝对值越大()【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型双曲线的几何性质(1)双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C1 D.(2)(2014广东高考)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相
3、等C离心率相等 D焦距相等(3)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为() 【导学号：25650067】A.1 B.1C2 D2【自主解答】(1)双曲线x2y21的顶点坐标为(1,0)，渐近线为yx，xy0，顶点到渐近线的距离为d.(2)因为0k0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.【解析】由双曲线x21，得a1，2，b2.【答案】2(2)求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【导学号：25650068】【解】将原方程转化为1，即1，a3，b2，c，因此顶点坐标为A1(3,0)
4、，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yx.利用双曲线的几何性质求其标准方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)【精彩点拨】用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)当焦点在x轴上时，由且a3得b.所求双曲线的
5、标准方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3得b2.所求双曲线的标准方程为1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.1一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得再结合c2a2b2及e列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程2如果已知双曲线的渐近线方程为yx，那么此双曲线方程可设为(0)再练一题2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： 【导学号：25650069】(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)
6、；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e.【解】(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，再由a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)由e2，得，设a29k(k0)，则c210k，b2c2a2k.于是，设所求双曲线方程为1，或1，把(3,9)代入，得k161与k0矛盾；把(3,9)代入，得k9，故所求双曲线方程为1.探究共研型直线与双曲线的位置关系探究1怎样判断直线与双曲线的位置关系？【提示】判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二
7、次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解这时直线与双曲线相交只有一个交点当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系探究2直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？【提示】直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点已知直线yax1与双曲线3x2y21.(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围【精彩点拨】将直线与双曲线方程联立用判别式判断方程组解的个数，并注意对二次
8、项系数的讨论【自主解答】把yax1代入3x2y21，整理得(3a2)x22ax20.(1)直线与双曲线有两个公共点，判别式4a28(3a2)244a20，且3a20，得a，且a.故当a，且a时，直线与双曲线有两个公共点(2)直线与双曲线只有一个公共点，或3a20，a或a.故当a或a时，直线与双曲线只有一个公共点(3)直线与双曲线没有公共点，3a20，且244a20.a或a.故当a或a时，直线与双曲线没有公共点1研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解2直线与双曲线有三种位置关系(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线
9、的渐近线(2)有一个公共点，分两种情况：直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点再练一题3(1)已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x21只有一个公共点，则直线l的斜率k的取值为_【解析】设直线l的斜率为k，则l：yk(x1)1，代入双曲线方程，得到(4k2)x2(2k2k2)xk22k50.若4k20，即k2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4k20，则(2k2k2)24(4k2)(k22k5)0，解得k.综上可得，直线l的
10、斜率k的取值为或2.【答案】或2【解】当a时，双曲线C的方程为4x2y21，联立消去y得3x22x20.设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x2，x1x2，于是|AB|.将yx1代入双曲线y21中得(1a2)x22a2x2a20，解得0a且a1.又双曲线的离心率e，e且e，即离心率e的取值范围是(，)构建体系1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4D4【解析】双曲线标准方程为1，故实轴长为4.【答案】C2下列双曲线中离心率为的是()A.1 B.1C.1 D.1【解析】双曲线1中a2，b，c，e.【答案】B3已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为54，则双曲线的标准方程为_【解析】由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，解得c5，b4，双曲线的标准方程为1.【答案】14已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.【解析】由题意得解得a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.【答案】125求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程. 【导学号：25650071】【解】渐近线方程为yx，设双曲线方程为x23y2.将(3，2)代入求得3，所以双曲线方程为y21.