1、第四章 轨迹方程方法 求轨迹方程常用方法：1.定义法2，直译法3.代入法（相关点法）4.参数法5.交轨法6.点差法【一】定义法定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 【例1】已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【例2】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。【解析】设动圆圆心为，半径为，设已
2、知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：，当与相切时，有 当与相切时，有 将两式的两边分别相加，得，即 移项再两边分别平方得： 两边再平方得：，整理得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。【例3】已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 【解析】设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|A
3、B|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：【二】直译法直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。【例1】一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？【解析】设M点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.
4、【例2】双曲线的两焦点分别是、，其中是抛物线的焦点，两点A（-3，2）、B（1，2）都在该双曲线上 （1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线【解析】（1）由得，焦点（-1，0）（2）因为A、B在双曲线上，所以，若，则，点的轨迹是线段AB的垂直平分线，且当y0时， 与重合；当y4时，A、B均在双曲线的虚轴上故此时的轨迹方程为x-1（y0，y4）若，则，此时，的轨迹是以A、B为焦点，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为，（y0，y4）故的轨迹是直线x-1或椭圆，除去两点（-1，0）、（-1，4）【例3】已知点、动点满足，则点的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线【解析
5、】 ，. 由条件，整理得，此即点的轨迹方程，所以的轨迹为抛物线，选D.【三】参数法参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系xf（t），yg（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）0。【例1】过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y4k
6、（x2），（k0） M为AB的中点， 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB为直角三角形的几何特性： 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB为直角三角形 化简，得x2y50，此即M的轨迹方程。分析3：设M（x，y），由已知l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何
7、用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设M（x，y），M为AB中点，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1l2 PAPB，从而kPAkPB1， 注意到l1x轴时，l2y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x2y50 综上可知，点M的轨迹方程为x2y50。【例2】设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。【解析】解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0) ，直线AB
8、的方程为x=my+a由OMAB，得m=，由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2， 所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法二 设OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得AB的方程为，过定点，由OMAB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉
9、坐标原点 解法三 设M(x,y) (x 0)，OA的方程为， 代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得由OMAB，得 ： M既在以OA为直径的圆： 上，又在以OB为直径的圆 上（O点除外），+得 x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点【例3】 过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.来源:学|科|网Z|X|X|K【解析】设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.【例4】过圆O：x2 +
10、y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。【解析】 解法一：“几何法”设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OMBC,所以|OM | |MA|OA| ，即(x2 +y2)+(x4)2 +y2 =16化简得：（x2）2+ y2 =4.由方程 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为（x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。解法二：“参数法” 设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x4),由直线与圆的方程得（
11、1+k2）x2 8k2x +16k24=0.(*),由点M为BC的中点，所以x=.(1) , 又OMBC，所以k=.(2)由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0得k2,所以x1.所以点M的轨迹方程为（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。【例5】过点A（1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点.若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。【解析】要求点R的轨迹方程，注意到点R的运动是由直线l的运动所引起的，因此可以探求点R的横、纵坐标与直线l的
12、斜率k的关系然而，点R与直线l并无直接联系与l有直接联系的是点P、Q，通过平行四边形将P、Q、R这三点联系起来就成为解题的关键由已知，代入抛物线C：y2=4x的方程，消x得： 、Q ， 解得，设，M是PQ的中点，则由韦达定理可知： 将其代入直线l的方程，得 四边形PFQR是平行四边形， 中点也是中点.又 点R的轨迹方程为【四】代入法（相关点法）代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。【例1】 轨迹方程
13、。 分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得即点B坐标可表为（2x2a，2y） 【例2】双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。【解析】设点坐标各为，在已知双曲线方程中，已知双曲线两焦点为，存在，由三角形重心坐标公式有，即 。 ，。已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有即所求重心的轨迹方程为：。【例3】如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线
14、段的中点的轨迹方程.yQOxNP【解析】设，则.在直线上， 又得即.联解得.又点在双曲线上，化简整理得：，此即动点的轨迹方程.【五】交轨法交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。【例1】抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。【解析】点A、B在抛物线上，设A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求
15、得，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 又OM的方程为 由消去得yA+yB即得， 即得。所以点M的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。【例2】已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程.【解析】得，即交点的轨迹方程为解2： (利用角作参数)设，则所以 , 两式相乘消去即可得所求的点的轨迹方程为 .【例3】如图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状. 【解析】设及，又，可得直线的方程为；直线
16、的方程为.得. 又，代入得，化简得，此即点的轨迹方程. 当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆.【六】点差法点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.【例1】已知椭圆，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.【解析】得由题意知，则上式两端同除以，有将代入得将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）【例2】抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形，试求动点的轨迹方程.【解析】而为的中点且直线过点，所以代入可得，化简可得由点在抛物线口内，可得将式代入可得故动点的轨迹方程为.【例3】抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 .【解析】设弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点为(x，y)，则y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22) 2=22x，将代入y=2x2得，轨迹方程是(y)答案：