1、2012届高考数学专题复习课件：第3专题 数列（理）热点重点难点专题透析第3专题（理）主编第3专题 数 列 回归课本与创新设计高考命题趋势重点知识回顾主要题型剖析专题训练试题备选重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选 一、等差、等比数列的概念、判定、公式与性质重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选等差数列等比数列定义 是等差数列an+1-an=d(常数)是等比数列=q(不为零的常数)na nan 1naa判定定义法:对于n2的任意正整数,验证an-an-1=d(常数).中项公式法:验证2an+1=an+an+2(nN+)都成立定义
2、法:对于n2的任意正整数,验证=q(不为零的常数).中项公式法:验证=anan+2(nN+)都成立通项公式an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)dan=a1qn-1=akqn-k1nnaa 21na 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选中项公式a,A,b成等差数列 A=.推广:2an=an-m+an+ma,G,b成等比数列G2=ab.推广:=an-m an+m2ab2na通项性质若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.若kn(nN+)成等差数列,则 也为等差数列.d=(mn)若m+n=p+q,则aman=apaq.若kn(nN+)成等差数列,则 成等比
3、数列.qn-1=,qn-m=(mn)nka11naanmnaamnnka1naanmaa重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选 Sn=na1+d=n2+(a1-)nSn=和的性质在等差数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列在公比不为1的等比数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等比数列1()2nn aa(1)2n n 2d2d111(1)(1)(1)11nnna qaqaa q qqq 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选 二、求数列通项公式的方法1.利用观察法求数列的通项;2.利用等差、等比数列
4、的通项公式;3.由an与Sn的关系求通项公式an=4.应用叠加(叠乘、叠代)法求数列的通项:an+1=an+f(n);an+1=anf(n);11(1),(2);nnS nSSn重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选5.构造等差、等比数列求通项:三、数列求和的常用方法1.公式法:利用等差、等比数列的求和公式;2.错位相减法:数列 的通项公式cn=anbn,且、中一个是等差数列,一个是等比数列;3.分组求和法:数列 的通项公式cn=an+bn;nc na nb nc4.裂项相消法:形如an=,an=(是等差数列)的数列.1nkn11nnbb nb重点知识回顾主要题
5、型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选 从近几年新课标高考来看,数列作为高中数学传统内容,基本上是考查一个小题一个大题,小题主要考查等差、等比数列的基本公式、基本性质,属于中低档难度性的试题;大题大多考查数列与不等式、函数、方程、解析几何的综合或数列的应用问题,多属中高档难度性的试题.在新课标复习备考中要注意降低递推式的要求.从高考趋势来看,2012年高考数列考查的重点和热点是等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式,综合应用仍是数列考题的常见形式,比较大小、证明不等式、求最值、求参数范围仍是考查的主要问题.数列考题的创新力度将加大,数列与新知识点的综合、新定义数列将占
6、据重要的舞台.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选 数列的性质与基本公式的应用主要是对等差数列和等比数列的基本量之间的关系和基本概念、基本公式、基本性质、基本思想的考查.这类试题常见于选择题、填空题,以容易题、中档题为主,一般采用基本量法求解,但有时利用数列项的性质或和的性质更简单,常利用方程思想、函数思想、整体思想来求解.高考中这类问题,一般要多想少算,多思考利用性质.题型一数列的性质与基本公式的应用重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选例1(1)在等差数列an中,前n项和为Sn,若a9=5,S7=21,那么S12等于()(A
7、)55.(B)48.(C)35.(D)70.(2)已知an为等差数列,若-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n等于()(A)11.(B)20.(C)19.(D)21.【分析】(1)本题可以采用“基本量”法,设出等差数列的首项和公差,根据a9=5,S7=21联立方程,然后代入等差数列的前n项和公式.也可以利用等差数列的性质将S12转化为a9+a4,然后利用S7=21求出a4.显然利用等差数列的性质更简单.1110aa重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)已知条件中是项的关系,要求和的最小正值,因此应该利用求和公式向项转化,通过项的正负
8、,判断和的正负,得出Sn取得最小正值时的n值.【解析】(1)(法一)设等差数列an的首项为a1,公差为d.根据a9=5,S7=21得 解得 因此S12=12a1+d=12+=48.1185,7(7 1)721.2adad19,52,5ad12 1129512 11235(法二)S7=21,a1+a7=2a4=6,S12=48.故选B.177()2aa11212()2aa4912()2aa12(35)2重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)由-1得 0,a110,a11+a100,S200,那么当Sn取得最小正值时,n=19,故选C.【答案】(1)B(2)C
9、 (1)在等差数列与等比数列中,已知五个元素a1、an、n、d(或q)、Sn中的任意三个,运用方程思想可求出其余两个.在解决有关计算问题时,需要抓住首项a1和公差d(或公比q).(2)求数列和的最值可以从项或者和进行考虑,有时可以利用函数的单调性.1110aa111010aaa重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选同类拓展1(1)设Sn是等差数列an的前n项和,若=,则 等于()(A).(B).(C).(D).36SS13612SS310131819(2)等差数列 前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.【解析】(1)本题考查等差数列的运算
10、性质.在等差数列中S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,由题意可设S3=1,S6=3,则S6-S3=2,S9-S6=3,S12-S9=4,S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=10,=.na612SS310重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)(法一)S9=S4,即=,9a5=2(a1+a4),即9(1+4d)=2(2+3d),d=-,由1-(k-1)+1+3(-)=0,得k=10.(法二)S9=S4,a5+a6+a7+a8+a9=0,a7=0,从而a4+a10=2a7=0,k=10.199()2aa144()2a
11、a161616【答案】(1)A(2)10重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选数列的通项与求和问题是高考中的热点,此类问题一般有两个方向:(1)考查等差、等比数列(或者是可转化为等差、等比数列的数列)的通项公式和前n项和公式;(2)考查和与项之间的转化关系,其中将涉及分类讨论、方程、函数等数学思想.题型二数列的通项与求和例2(1)已知单调函数y=f(x)的定义域为R,当x1,且对任意的实数x,yR,等式f(x)f(y)=f(x+y)成立.若数列an中,a1=f(0),f(an+1)=(nN+),则a2012的值为()(A)4020.(B)4021.(C)4022
12、.(D)4023.1(2)nfa 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)若数列an是正项数列,且+=n2+3n(nN*),则+=.【分析】(1)通过抽象函数寻找数列的递推公式,进而转化为等差数列是解题的关键.本题启示我们,数列问题的解题规律是发现递推关系,转化为通项公式,进而研究其性质或者求和.1a2ana12a23a1nan(2)将“+”视为数列 的前n项和,利用an=Sn-Sn-1求出 的通项公式,得出 的通项,进而求数列 的前n项和.【解析】(1)令x=y=0,则f(0)f(0)=f(0),因此f(0)=0(设x=0,y0,则f(0)f(y)=f(y
13、)=0,这与x1矛盾)(舍去)或f(0)=1.根据f(an+1)=得f(an+1)f(-2-an)=1=f(0),因此an+1-an-2=0.所以an为首项为1,公差为2的等差数列.因此a2012=1+2(2012-1)=4023.1a2ananana1nan 1nan 1(2)nfa 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)令n=1,得=4,a1=16.当n2时,+=(n-1)2+3(n-1).与已知式相减,得=(n2+3n)-(n-1)2-3(n-1)=2n+2,an=4(n+1)2,n=1时,a1也适合上式.an=4(n+1)2,=4n+4,+=2n2
14、+6n.1a1a2a1na na1nan 12a23a1nan(844)2nn【答案】(1)D(2)2n2+6n重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选 数列的通项an与数列的前n项Sn是数列中两个重要的量,要注意各自的意义和相互间的转化.已知Sn求an,应重视分类讨论的应用,应分n=1和n2两种情况讨论,当n=1时,a1也适合“an”式,则数列的通项公式需统一“合写”,否则要分段表示.同类拓展2(1)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=.(2)(2011年四川)数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn
15、(n1),则a6等于()(A)3 44.(B)3 44+1.(C)44.(D)44+1.【解析】(1)由a2a4=1可得 q4=1,且a10,因此a1=,又因为S3=a1(1+q+q2)=7,联立两式有(+3)(-2)=0,又q0,所以q=,a1=4,所以S5=.21a21q1q1q12514(1)2112314重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)由an+1=3Sn,得an=3Sn-1(n2),相减得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,则an+1=4an(n2),a1=1,a2=3,则a6=a244=344.【答案】(1)(2)A314等差、等
16、比数列是两类最基本的数列,对其考查以通项公式、前n项的和为重点,高考中多以客观题出现,一般与其他知识综合考查两类数列,要注意抽象出两类数列模型,利用基本量法,通过公式构造方程,确定数列通项求解.题型三等差数列与等比数列例3设数列an是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,数列bn为等比数列,且a1=b1=2,S2=5b2,S4=25b3.(1)求数列an和bn的通项公式an及bn;重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)设数列cn满足cn=Snbn,问当n为何值时,cn取得最大值?【分析】由基本量法求出等差数列与等比数列的通项;要求cn的最大值,由 找到满
17、足要求的值即可.【解析】(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,则S2=2a1+d,S4=4a1+d=8+6d,b2=2q,b3=2q2.从而由S2=5b2,S4=25b3得:消去d得,25q2-30q+8=0,解得q=或q=.11,nnnncccc4 322410,8650,dqdq 4525重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选代入得d=4或d=0,因为d0,所以 舍去.所以 所以an=2+4(n-1)=4n-2,bn=2qn-1=2()n-1.0,25dq4,4.5dq 45(2)Sn=na1+d=2n2,cn=Snbn=4n2()n-1,假设cn
18、最大,因为c1=4,c2=,所以c1c2,n2,所以由cn最大,得(1)2n n 4564511,nnnncccc重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选即 化简得,解得4+n5+.4 5,8n10.nN*,n=9,即当n=9时,cn最大.有关等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的基本运算,是目前高考中的一个重点,要加强这方面的基本功.2122122444()4(1)(),55444()4(1)().55nnnnnnnn22840,1050,nnnn202020第(2)问是求数列的最大项的问题,一般是讨论数列的单调性,知道了单调性情况,那么最值就容易求出.重
19、点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选同类拓展3已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,数列an+Sn是公差为2的等差数列.(1)求a2,a3;(2)证明:数列an-2为等比数列;(3)求数列nan的前n项和Tn.【解析】(1)数列an+Sn是公差为2的等差数列,(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2,即an+1=,a1=1,a2=,a3=.22na 3274重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)由题意,得a1-2=-1,=,an-2是首项为-1,公比为 的等比数列.(3)由(2)得an-2=-()n-1,nan=2n-n
20、()n-1,122nnaa 2222nnaa12121212Tn=(2-1)+(4-2)+6-3()2+2n-n()n-1,Tn=(2+4+6+2n)-1+2+3()2+n()n-1,设An=1+2+3()2+n()n-1,An=+2()2+3()3+n()n,1212121212121212121212121212重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选 An=-n()n,An=4-(n+2)()n-1,Tn=+(n+2)()n-1-4=(n+2)()n-1+n(n+1)-4.数学应用问题是数列高考的重要考点之一,解答这类问题的关键是深刻理解题意,学会文字语言向
21、数学的符号语言的翻译转化,建立恰当的数学模型,而构造数列的递推关系是解决这类问题的关题型四数列应用题1211()2112n1212(22)2nn1212由-,得 An=1+()2+()n-1-n()n,1212121212键.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选例42010年,中国浙江吉利控股集团有限公司以18亿美元收购沃尔沃汽车公司,并计划投资20亿美元来发展该品牌.据专家预测,从2010年起,沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆(2010年的销售量为20000辆),销售利润按照每年每辆比上一年减少10%(2010年销售利润为2万美元/辆)计算.求
22、(1)第n年的销售利润为多少?(2)到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车实现盈利?(即销售利润超过总投资,0.950.59).【分析】本题以实际问题为背景,考查了等差、等比数列通项公式及其前n项和.(1)通过产量与利润的增长规律,构造数列,表示其第n年的销售利润.(2)利用错位相减法,求出前n年的销售利润,比较投入与利润,确定能否盈利.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选【解析】沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆,因此汽车的销售量构成了首项为20000,公差为10000的等差数列.naan=10000+10000n.沃尔
23、沃汽车销售利润按照每年比上一年减少10%,因此每辆汽车的销售利润构成了首项为2,公比为1-10%的等比数列.bn=20.9n-1.第n年的销售利润记为,cn=anbn=(10000+10000n)20.9n-1.nb nc(2)记到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司利润总和为S万美元,则S=200002+3000020.9+4000020.92+5000020.93+6000020.94,0.9S=2000020.9+3000020.92+4000020.93+5000020.94+6000020.95,重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选S=10(
24、220000-3200000.95)31.2104(20+18)104.答:第n年的销售利润为(10000+10000n)20.9n-1万美元,到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司不能实现盈利.解决数列实际应用问题的关键是要做好三件事情:第一是努力读懂题意,能用自己的语言把问题表述出来;第二是找出关键字句,其他的文字可以不管;第三是将实际生活化的语言翻译成数学语言.-得0.1S=200002+20000(0.9+0.92+0.93+0.94)-6000020.95,重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选同类拓展4已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a
25、(单位:m2),其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同时也拆除面积为b(单位:m2)的旧住房.(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式;(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?(计算时取1.15=1.6).【解析】(1)第1年末的住房面积为a-b=1.1a-b.第2年末的住房面积为(a-b)-b=a()2-b(1+)=1.21a-2.1b.11101110111011101110重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)第3年末的住房面积
26、为a()2-b(1+)-b=a()3-b1+()2,第4年末的住房面积为a()4-b1+()2+()3,第5年末的住房面积为a()5-b1+()2+()3+()4=1.15a-b=1.6a-6b.依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得b=,所以每年拆除的旧房面积为(m2).11101110111011101110111011101110111011101110111011101110111051 1.11 1.120a20a重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选题型五数列的综合应用数列与其他数学知识的综合性问题是高考的热点,一般以数列与函数、数列与不等式、数
27、列与解析几何的综合应用为主.在该类问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决,解题时要注意沟通数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,其中所涉及的不等式问题通常可采用放缩法、比较法或“归纳猜想证明”的数学归纳法解决.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选例5已知函数f(x)=(x-2)2,f(x)是函数f(x)的导函数,设a1=3,an+1=an-.()()nnf afa(1)证明:数列an-2是等比数列,并求出数列an的通项公式;(2)令bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.【分析】(1)由题意利用函数关系化
28、简an+1,an的关系式,然后根据目标转化为等比数列求解;(2)根据(1)的结论,观察通项bn=nan的特点选用求和方法.【解析】(1)f(x)=2(x-2),由an+1=an-可得an+1=an-=an+1,an+1-2=(an+1)-2=an-1=(an-2),所以数列an-2是以a1-2=1为首项,公比为 的等比数列,()()nnf afa2(2)2(2)nnaa1212121212重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选所以an-2=(a1-2)()n-1=()n-1,即an=()n-1+2.121212(2)bn=nan=+2n,则Sn=(+)+2(1+
29、2+3+n)=(+)+n2+n.令Tn=+,得:Tn=+,12nn01212223212nn01212223212nn01212223212nn12121122223322nn重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选-得:Tn=1+-=-=2(1-)-,即Tn=4(1-)-=4-,所以Sn=Tn+n2+n=4-+n2+n.近年来,“函数搭台,数列唱”的数列综合问题,在高考解答题中多次出现,集中体现对考生综合知识和灵活应变能力的考查.此类问题,看似函数问题,剥去函数外衣,实质乃数列常规题.12112212112n2nn112112n2nn12n2nn12n22nn1
30、22nn122nn重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选同类拓展5已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f(0)=2n,nN*.(1)求f(x)的解析式;(2)若数列an满足=f(),且a1=4,求数列an的通项公式;11na 1na(3)记bn=,Tn为数列bn的前n项和,求证:Tn2.【解析】(1)f(x)=2ax+b,由题意知b=2n,16n2a-4nb=0,a=,b=2n,则f(x)=x2+2nx,nN*.1nna a 431212(2)数列an满足=f(),又f(x)=x+2n,=+2n,-=2n,11na 1na11na 1n
31、a11na 1na重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选当n2时,-=2+4+6+2(n-1)=n2-n=(n-)2an=.当n=1时,a1=4也符合,故an=1na141na12211()2n 24(21)n 24(21)n(3)bn=2(-),Tn=b1+b2+bn=+=2(1-)+(-)+(-)=2(1-).2n+13,2(1-),又2(1-)2,Tn2.1nna a 4(21)(21)nn121n 121n 12a a23a a1nna a 131315121n 121n 121n 121n 43121n 43重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练
32、回归课本与创新设计试题备选例6数列an满足a1=1,且n2时,an=n2(+).21121221(1)n(1)证明:当n2时,-=;12(1)nan2nan21n(2)试比较(1+)(1+)(1+)(1+)与4的大小关系.【分析】首先通过特殊值,猜想出(1+)(1+)(1+)(1+)与4的大小关系.然后根据结论(1)得出 的关系,将(1+)(1+)(1+)(1+)向 关系化简.利用放缩法转化为可求和数列,从而证明(1+)(1+)(1+)(1+)与4的大小关系.11a21a31a1na11a21a31a1na11nnaa 11a21a31a1na11nnaa 11a21a31a1na重点知识回顾
33、主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选由an=n2(+),得=+,=+,式减式,有-=,得证.21121221(1)n 2nan21121221(1)n 12(1)nan21121221n12(1)nan2nan21n(2)当n=1时,1+=24;当n=2时,(1+)(1+)=2 4,由(1)知,当n2时,=,当n3时,(1+)(1+)(1+)(1+)=11a11a21a5412(1)nan21nan11nnaa 22(1)nn 11a21a31a1na111aa221aa331aa1nnaa重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选【解析】(1
34、)当n2时,=(1+an)=2 an+1=21+.=-(n2),(1+)(1+)(1+)21+(1-)+(-)+(-)=2(2-)=4-4,111aa21a231aa341aa11nnaa142223223422(1)nn22(1)nn 21221321(1)n 21n21n1(1)n n 11n 1n11a21a1na12121311n 1n1n2n重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(1+)(1+)(1+)(1+)4.有关数列背景下的不等式的证明问题,在处理过程中常常会涉及放缩法的使用,这就要求考生对于放缩法的使用技巧有一定的积累,否则难以完成.常见的数列
35、问题中的放缩方式有:(1)-(n2);(2)=-.有时也可以利用数学归纳法进行证明.11a21a31a1na21n11n 1n121n 11nn 12 n21(1)n 1(1)(2)nn11n 12n 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选同类拓展6(2011年湖南)已知函数f(x)=x3,g(x)=x+.x(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由;(2)设数列an(nN+)满足a1=a(a0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的nN+,都有anM.【解析】(1)由h(x)=x3-x-知,x0,+),而h(0)=0
36、,且h(1)=-10,则x=0为h(x)的一个零点,且h(x)在(1,2)内有零点.因此,h(x)至少有两个零点.(法一)h(x)=3x2-1-,记(x)=3x2-1-,则(x)=6x+.当x(0,+)时,(x)0,因此(x)在(0,+)上单调递增,则(x)在(0,+)内至多只有一个零点,又因为(1)0,()0,则(x)在(,1)内有零点,所以(x)在(0,+)内有且只有一个零点,记此零点为x1,则当x(0,x1)时,(x)(x1)=0.所以当x(0,x1)时,h(x)单调递减,而h(0)=0,则h(x)在(0,x1内无零点;当x(x1,+)时,h(x)单调递增,则h(x)在(x1,+)内至多
37、只有一个零点.从而h(x)在(0,+)内至多只有一个零点.综上所述,h(x)有且只有两个零点.(法二)由h(x)=x(x2-1-),记(x)=x2-1-,则(x)=2x+.当x(0,+)时,(x)0,从而(x)在(0,+)上单调递增,则(x)在(0,+)内至多只有一个零点,因此h(x)在(0,+)内也至多只有一个零点.12x12x1212x综上所述,h(x)有且只有两个零点.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)记h(x)的正零点为x0,即=x0+.当ax0时,由a1=a,即a1x0.而=a1+x0+=,因此a2x0,由此猜测anx0,下面用数学归纳法证明
38、.()当n=1时,a1x0显然成立,()假设当n=k(k1)时,akx0成立,则当n=k+1时,由=ak+x0+=知ak+1x0.因此,当n=k+1时,ak+1x0成立.30 x0 x32a1a0 x30 x31ka ka0 x30 x重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选故对任意的nN+,an0,故q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=,故数列an的通项公式为an=.1nb23a23a24a19131313n重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)bn=log3 a1+log3 a2+log3 an =
39、-(1+2+n)=-.故=-=-2(-),+=-2(1-)+(-)+(-)=-.(1)2n n 1nb2(1)n n 1n11n 11b21b1nb1212131n11n 21nn 所以数列 的前n项和为-.1nb21nn 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选1.人教A版必修5 P68B组选择题第1题第(1)问:等比数列an的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=()(A)12.(B)10.(C)8.(D)2+log35.课本试题对比:2.人教A版必修5 P47第4题:数列 的前n项和Sn=+,研究一下,能否找
40、到求Sn的一个公式,你能对这个问题作一些推广吗?高考题就是把上面两个题目嫁接而成,所涉及的问题与方法完全一样.嫁接是高考命题中常用的手段,有时因为嫁接的巧妙而使得题目焕然一新,甚至难度也会大幅度增加.因此我们对比较好的课本题目要善于发现不同题目的联系,可以尝试自己去嫁接.1(1)n n 11 212 313 414 51(1)n n 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选创新设计1.对正整数n,设抛物线y2=2(2n+1)x,过P(2n,0)任作直线l交抛物线于An,Bn两点,则数列 的前n项和公式是()(A)-n(n+1).(B)n(n+1).(C)-.(D)
41、.【解析】设直线方程为x=ty+2n,代入抛物线方程得y2-2 ty-4n=0,设An,Bn,则 =+=(t2+1)+2nt+4n2,用韦达定理代入得 =-4n(2n+1)+4n(2n+1)t2+4n2=-4n2-4n,2(1)nnOA OBn(1)2n n(1)2n n 21n 21n 11,nnxy22,nnxynOAnOB1nx2nx1ny2ny1ny2ny12nnyynOAnOB21t 故=-2n,故数列 的前n项和为-n(n+1).【答案】A2(1)nnOA OBn2(1)nnOA OBn重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选2.对于各数互不相等的整数
42、数组(i1,i2,i3,in)(n是不小于3的正整数),对于任意的p,q1,2,3,n,当piq,则称ip,iq,是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组(2,4,3,1)中的逆序数等于 ;若数组(i1,i2,i3,in)中的逆序数为n,则数组(in,in-1,i1)中的逆序数为 .【解析】根据新定义“逆序”数组(2,4,3,1)的逆序数为4个;根据数组(i1,i2,i3,in)取两数共有=种大小关系,根据数组(i1,i2,i3,in)中的逆序数为n,因此数组(in,in-1,i1)中的逆序数为-n=.(1)(2)12nn(1)2n n(1)2n n(
43、3)2n n【答案】4(3)2n n 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选 一、选择题1.在等差数列an中,a6=a3+a8,则S9等于()(A)0.(B)1.(C)-1.(D)以上都不对.【解析】a3+a8=a5+a6=a6,a5=0,S9=9a5=0.【答案】A重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选2.各项均为正数的等比数列an中,a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5等于()(A)16.(B)36.(C)27.(D)-27.【解析】由已知,得a1+a2=1,a3+a4=q2(a1+a2)=9,q2=9,an0,q=3
44、.a4+a5=q3(a1+a2)=27.【答案】C重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选3.Sn是数列an的前n项和,则“数列Sn为等差数列”是“数列an为常数列”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.【解析】数列Sn为等差数列,当n=1时,S1=a1,当n2时,Sn-Sn-1=an为常数,则数列an不一定为常数列,例如1,2,2,2,;反过来,数列an为常数列,由于an=Sn-Sn-1为常数,则数列Sn为等差数列.所以“数列Sn为等差数列”是“数列an为常数列”的必要不充分条件.【答案】B重点知识回顾
45、主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选4.数列an的前n项和为Sn,且Sn=2Sn+1+,a2=-1,则数列an的首项为()(A)1或-2.(B)1.(C)2.(D)-1或2.【解析】Sn=2Sn+1+,a2=-1中令n=1,得a1=2(a1-1)+,a1=1或-2.【答案】A2na2na21a5.已知an是由正数组成的等比数列,Sn表示an的前n项的和.若a1=3,a2a4=144,则S10的值是()(A)511.(B)1023.(C)1533.(D)3069.【解析】根据a2a4=144得a3=12,又因为a1=3即a1q2=12,所以q=2.因此S10=3069.【答
46、案】D103(12)12重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选6.若数列an满足-=d(nN*,d为常数),则称数列an为调和数列.记数列 为调和数列,且x1+x2+x20=200,则x5+x16等于()(A)10.(B)15.(C)20.(D)25.【解析】依题意:-=d,即xn+1-xn=d,xn为等差数列,x1+x2+x20=10(x5+x16)=200,x5+x16=20.11na 1na1nx111nx 11nx【答案】C重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选7.(2011年江西)已知数列an的前n项和Sn满足:Sn+S
47、m=Sn+m,且a1=1,那么a10等于()(A)1.(B)9.(C)10.(D)55.【解析】令n=1,m=9,得S1+S9=S10,S10-S9=S1,a10=a1=1.【答案】A重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选8.已知数列an中,a3=2,a7=1,若 为等差数列,则a11等于()(A)1.(B).(C).(D)2.【解析】为等差数列,则它的第3、7、11项依次也成等差数列,2=+,可解得a11=.【答案】C12na122312na712a312a1112a23重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选9.已知数列an的通
48、项公式an=log2(nN+),设an的前n项和为Sn,则使Sn-5成立的自然数n()(A)有最大值63.(B)有最小值63.(C)有最大值31.(D)有最小值31.【解析】Sn=a1+a2+a3+an=log2+log2+log2+log2=log2()=log2=1-log2(n+2)6,即得n+264,n62,即自然数n的最小值为63.【答案】B12nn23344512nn23344512nn22n 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选10.在等比数列 中,a1=2,前n项和为Sn,若数列 也是等比数列,则Sn等于()(A)2n+1-2.(B)3n.(C
49、)3n-1.(D)2n.【解析】因数列 为等比数列,则an=2qn-1,因数列 也是等比数列,则(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an(1+q2-2q)=0 na1na na1na 21na q=1,即an=2,所以Sn=2n.【答案】D重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选11.已知整数按如下规律排成一列:(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),则第60个数对是()(A)(10,1).(B)(2,10
50、).(C)(5,7).(D)(7,5).【解析】根据题中规律,(1,1)为第1项,(1,2)为第2项,(1,3)为第4项,(1,11)为第56项,因此第60项为(5,7).【答案】C重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选12.已知数列:,依它的前10项的规律,这个数列的第2011项a2011等于()(A).(B).(C).(D).【解析】把数列分组:()、(,)、(,)、(,)、,再由=1953,=2016,知a2011在第63组,即可得第63组为(,),则a2011=.【答案】C11211231221341322314757756329557112112312
51、2134132231462 63263 642631622757658559460361262163658329重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选13.已知各项均为正数的等比数列 中,a1+a3+a5=1,a4+a6+a8=8,则a5+a7+a9=.【解析】设数列公比为q,则a4+a6+a8=8=q3(a1+a3+a5),即q3=8,得q=2,得a5+a7+a9=(a1+a3+a5)q4=16.【答案】16 na二、填空题重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选14.等差数列 前9项的和等于前4项的和,若a1=1,ak+a4=0
52、,则k=.【解析】S9=S4,a1=1,d=-,ak+a4=a1+(k-1)d+a1+3d=2a1+(k+2)d=2+(k+2)(-)=0,即k=10.【答案】10 na1616重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选15.设等比数列an的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=.【解析】设等比数列的公比为q,则由S6=4S3知q1.S6=,q3=3,a1q3=3.【答案】3611qq34(1)1qq16.已知数列an和bn均为正项等比数列,其前n项积分别为Pn、Qn,且=(,则 的值为 .【解析】可得=()9=(=()9,则=.【答案】nnPQ232
53、8)nn55ab99PQ1291 29a aab bb55ab23298 9)2355ab2323重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选17.设等差数列an的前n项和为Sn,且a3=-5,S6=-24.三、解答题(1)求数列an的通项公式;(2)求Sn0时最小的正整数n.【解析】(1)设等差数列的公差为d,则 解得a1=-9,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-11.1125,166 524,2adad (2)由(1)得Sn=n2-10n0,因为nN*,解得n10,所以Sn0时最小的正整数n为11.(9211)2nn 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势
54、专题训练回归课本与创新设计试题备选18.已知数列 是一个递增的等比数列,数列的前n项和为Sn,且a2=4,S3=14.na(1)求an的通项公式;(2)若cn=log2an,求数列 的前n项之和Tn.【解析】(1)设首项为a1,公比为q,由条件可得 即 解之得 或 又数列为递增的,q=2,11nnc c 21234,14,aaaa121114,14,a qaa qa q18,1,2aq 12,2.aq an=a1qn-1=2n.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)cn=log2an=log22n=n,=-,Tn=+=(1-)+(-)+(-)=1-=.11
55、nnc c 1(1)n n 1n11n 1 21c c231c c11nnc c 1212131n11n 11n 1nn 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选19.已知函数f(x)=(x-1,xR),数列an满足a1=a(a-1,aR),an+1=f(an)(nN*).421xx(1)若数列an是常数列,求a的值;(2)当a1=4时,记bn=(nN*),证明数列bn是等比数列,并求出通项公式an.【解析】(1)f(x)=,a1=a,an+1=f(an)(nN*),数列an是常数列,an+1=an=a,a=,解得a=2,或a=1.所求实数a的值是1或2.21nn
56、aa421xx421aa重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(2)a1=4,bn=(nN*),b1=,bn+1=,即bn+1=bn(nN*).数列bn是以b1=为首项,公比为q=的等比数列,于是bn=()n-1=()n(nN*).21nnaa231121nnaa42214211nnnnaaaa2321nnaa232323232323由bn=,即=()n,解得an=(nN*).所求的通项公式an=(nN*).21nnaa21nnaa232()232()13nn2()232()13nn重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选20.某市
57、去年11月份曾发生流感,据统计,11月1日该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人,由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数.【解析】设第n天新患者人数最多,则从第n+1天起该市医疗部门采取措施,于是,前n天流感病毒感染者总人数,构成一个首项为20,公差为50的等差数列的前n项和,Sn=20n+50=25n2-5n(1n30,nN),而后30-n天的
58、流感病毒感染者总人数,构成一个首项为20+(n-1)50-30=50n-60,公差为-30,项数为30-n的等差数列的和,(1)2n n 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选Tn=(30-n)(50n-60)+(-30)=-65n2+2445n-14850,依题设构建方程有,Sn+Tn=8670,25n2-5n+(-65n2+2445n-14850)=8670,化简得n2-61n+588=0,n=12或n=49(舍),(30)(301)2nn第12天的新的患者人数为20+(12-1)50=570人.故11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,新患者人数为5
59、70人.答:该市11月12日,感染此病毒的新患者人数最多,新患者人数为570人.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选21.(2011年山东)等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)当a1=3时,不合题意;当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;当a1=10时,不合题意.重点知识回顾主要题
60、型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选因此a1=2,a2=6,a3=18,所以公比q=3,故an=23n-1.(2)bn=an+(-1)nln an=23n-1+(-1)nln(23n-1)=23n-1+(-1)nln 2+(n-1)ln3=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+-1+2-3+(-1)nnln 3当n为偶数时,Sn=2+ln 31 31 3n2n重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选=3n+ln 3-1;当n为奇数时,Sn=2
61、-(ln 2-ln 3)+(-n)ln 3=3n-ln 3-ln 2-1.2n1 31 3n12n 12n 综上所述:Sn=3ln3 1,213ln3ln 2 1,.2nnnnnn为偶数为奇数重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选22.已知数列an的前n项和为Sn,且满足:a1=a(a0),an+1=rSn(nN+,rR,r-1).(1)求数列an的通项公式;(2)若存在kN+,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,试判断:对于任意的mN+,且m2,am+1,am,am+2是否成等差数列,并证明你的结论.【解析】(1)由已知an+1=rSn,可得an+2=rS
62、n+1,两式相减可得an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1,即an+2=(r+1)an+1.又a2=ra1=ra,所以当r=0时,数列an为:a,0,0,;当r0,r-1时,由已知a0,所以an0(nN+),于是由an+2=(r+1)an+1,可得=r+1(nN+),a2,a3,an,成等比数列,21nnaa重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选当n2时,an=r(r+1)n-2a.综上,数列an的通项公式为an=2,1,(1),2.na nr ra n(2)对于任意的mN+,且m2,am+1,am,am+2成等差数列.证明如下:当r=0时,由(1
63、)知,an=对于任意的mN+,且m2,am+1,am,am+2成等差数列;当r0,r-1时,Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1.若存在kN+,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,则Sk+1+Sk+2=2Sk,2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即ak+2=-2ak+1.由(1)知,a2,a3,an,的公比r+1=-2,于是,1,0,2,a nn重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选对于任意的mN+,且m2,am+1=-2am,从而am+2=4am,am+1+am+2=2am,即am+1,am,am+2成等差数列.综上,对于任意的m
64、N+,且m2,am+1,am,am+2成等差数列.1.已知数列A:a1,a2,an(0a1a2an,n3)具有性质P:对任意i,j(1ijn),aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题:(1)数列0,1,3具有性质P;(2)数列0,2,4,6具有性质P;(3)若数列A具有性质P,则a1=0;重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选(4)若数列a1,a2,a3(0a1a2a1=0,a3+a2a3不在数列中,因此a3-a2必然在数列中.又a3a2,故a3-a20=a1,于是a3-a2=a2,等式a1+a3=2a2成立.【答案】B重点知
65、识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选2.在数列 中,若-=p(n2,nN+,p为常数),则称 为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断:若 是等方差数列,则 是等差数列;是等方差数列;若 是等方差数列,则(kN+,k为常数)也是等方差数列;若 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列.其中正确命题的序号为 .(将所有正确命题的序号填在横线上)【解析】由定义可知,是公差为p的等差数列,正确;na2na21na na na 2na(1)n nakna na2na-=0(n2,nN+)为常数,故 是等方差数列,正确;若-=p(n2,nN+),则2(1)n21(
66、1)n(1)n2na21na 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选-=(-)+(-)+(-)=kp为常数,对;设an的公差为d,则p=-=(an-an-1)(an+an-1)=d(an+an-1),结合p=d(an+1+an),两式相减可得0=d(an+1-an-1)=2d2d=0,故an是常数列,对.【答案】2kna2(1)k na2kna21kna21kna22kna21kn ka 2(1)k na2na21na 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选3.有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为amk(m,k=1,
67、2,3,n,n3),公差为dm,并且a1n,a2n,a3n,ann成等差数列.(1)证明dm=p1d1+p2d2(3mn,p1,p2是m的多项式),并求p1+p2的值;(2)当d1=1,d2=3时,将数列dm分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),(每组数的个数构成等差数列).设前m组中所有数之和为(cm)4(cm0),求数列 dm的前n项和Sn.【解析】(1)由题意知amn=1+(n-1)dm.a2n-a1n=1+(n-1)d2-1+(n-1)d1=(n-1)(d2-d1),同理,a3n-a2n=(n-1)(d3-d2),a4n-a3n=(n-1)(d4-
68、d3),ann-a(n-1)n=(n-1)(dn-dn-1).又因为a1n,a2n,a3n,ann成等差数列,所以a2n-a1n=a3n-a2n=ann-a(n-1)n.2 mc重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选故d2-d1=d3-d2=dn-dn-1,即dn是公差为d2-d1的等差数列.所以,dm=d1+(m-1)(d2-d1)=(2-m)d1+(m-1)d2.令p1=2-m,p2=m-1,则dm=p1d1+p2d2,此时p1+p2=1.(2)当d1=1,d2=3时,dm=2m-1(mN+).数列dm分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,
69、d7,d8,d9),.按分组规律,第m组中有2m-1个奇数,所以第1组到第m组共有1+3+5+(2m-1)=m2个奇数.注意到前k个奇数的和为1+3+5+(2k-1)=k2,所以前m2个奇数的和为(m2)2=m4.即前m组中所有数之和为m4,所以(cm)4=m4.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选因为cm0,所以cm=m,从而 dm=(2m-1)2m(mN+).所以Sn=12+322+523+724+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n.2Sn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1.故-Sn=2+222+223+224+22n-(2n-1)2n+1=2(2+22+23+2n)-2-(2n-1)2n+1=2-2-(2n-1)2n+1=(3-2n)2n+1-6.所以Sn=(2n-3)2n+1+6.2 mc2(21)2 1n 重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选