1、第2课时空间向量与垂直关系1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.(重点)2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题.(重点、难点)教材整理空间中垂直关系的向量表示阅读教材P103P104练习以上部分，完成下列问题.线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmab0a1b1a2b2a3b30线面垂直设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，则lauaku(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2
2、)，则 uv uv0a1a2b1b2c1c20若直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()A.lB.lC.lD.l与斜交【解析】n(2,0，4)2(1,0,2)2a，na，l.【答案】B利用向量证明线线垂直已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.图328【精彩点拨】(1)若选，为基向量，你能用基向量表示与吗？怎样证明与垂直？(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标表示向量与并证明它们垂直吗？【自主解答】设AB的中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的
3、空间直角坐标系.由已知得A，B，C，N，B1，M为BC的中点，M.，(1,0,1)，00.，AB1MN.利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：(1)基向量法选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；把两直线的方向向量用基底表示；利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；由方向向量垂直得到两直线垂直.(2)坐标法根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；计算两直线方向向量的数量积为0；由方向向量垂直得到两直线垂直.1.如图329，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，
4、底面ABCD是矩形，AB2，AD1，AA13，M是BC的中点.在DD1上是否存在一点N，使MNDC1？并说明理由. 【导学号：37792133】图329【解】如图所示，建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐标系，则C1(0,2,3)，M，D(0,0,0).设N(0,0，h)，则，(0,2,3)，由(0,2,3)43h.当h时，0，此时.存在NDD1，使MNDC1.利用向量证明线面垂直如图3210所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE平面A1D1F.图3210【精彩点拨】建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A1D1F
5、的法向量，然后证明与法向量共线.【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F，(1,0,0)，.设平面A1D1F的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，即解得x0，y2z.令z1，则n(0,2,1).又，n2.n，即AE平面A1D1F.1.坐标法证明线面垂直有两种思路方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)
6、求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.2.使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决.2.如图3211，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点，求证：直线PB1平面PAC. 【导学号：37792134】图3211【证明】依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1,0)，B1(1,1,2)，于是(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，(1,1,0)(1,1,1)0，(1,0,1)(1,1,1)0，故，即PB1CP，PB1CA，
7、又CPCAC，且CP平面PAC，CA平面PAC.故直线PB1平面PAC.利用向量证明面面垂直探究如何用向量法判定两个平面垂直？【提示】只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为0即可.如图3212所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点，证明：平面AEC1平面AA1C1C.图3212【精彩点拨】要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1n20.【自主解答】由题意得AB，BC，B1B两两垂直.以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角
8、坐标系.则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，则(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，2,0，.设平面AA1C1C的一个法向量为n1(x1，y1，z1).则令x11，得y11.n1(1,1,0).设平面AEC1的一个法向量为n2(x2，y2，z2).则令z24，得x21，y21.n2(1，1,4).n1n2111(1)040.n1n2，平面AEC1平面AA1C1C.1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面
9、面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED平面B1BD. 【导学号：37792135】【证明】以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E，(1,1,1)，设平面B1DE的法向量为n1(x，y，z)，则xyz0且yz0，令z2，则y1，x1，n1(1,1，2).同理求得平面B1BD的法向量为n2(1，1
10、,0)，由n1n20，知n1n2，平面B1DE平面B1BD.1.若直线l的方向向量a(8，12,0)，平面的法向量(2，3,0)，则直线l与平面的位置关系是()A.lB.lC.直线l与平面相交但不垂直D.无法确定【解析】a.a，l.【答案】B2.已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为()A.B.C.D.【解析】设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y2，z2.所以n(1，2,2).由于|n|3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是.【答案】B3.已知平面和平面的法向量分别为a(1,2,3)，b(x，2,3)，且，则x_.【解析】，ab，abx490，
11、x5.【答案】54.如图3213，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)求证：ACBC1；(2)在AB上是否存在点D，使得AC1CD? 【导学号：37792136】图3213【解】在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).(1)证明：(3,0,0)，(0，4,4)，0.ACBC1.(2)假设在AB上存在点D，使得AC1CD，设(3，4，0)，其中，则D(33，4，0)，于是(33，4，0)，(3,0,4)，且AC1CD，990，得1.在AB上存在点D，使得AC1CD，且这时点D与点B重合.