1、第2讲等差数列及前n项和考纲展示命题探究1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义的表达式为an1and，d为常数2等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A.3等差数列的通项公式及其变形通项公式：ana1(n1)d，其中a1是首项，d是公差通项公式的变形：anam(nm)d，m，nN*.4等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式：Snna1d.5等差数列的单调性当d0时，数列an为递增数列；当d0，dS40Ba1d0，dS40，dS40Da1d
2、0答案B解析由aa3a8，得(a12d)(a17d)(a13d)2，整理得d(5d3a1)0，又d0，a1d，则a1dd20，又S44a16dd，dS4d20，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？解解法一：由S3S11得3a1d11a1d，则da1.从而Snn2n(n7)2a1，又a10，所以0.故当n7时，Sn最大解法二：由于Snan2bn是关于n的二次函数，由S3S11，可知Snan2bn的图象关于n7对称由解法一可知a0，S3S11可知d0，a80，d0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a10时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取
3、最值的n有两个1设an是等差数列下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1D若a10答案C解析若an是递减的等差数列，则选项A、B都不一定正确若an为公差为0的等差数列，则选项D不正确对于C选项，由条件可知an为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a2，由基本不等式得，所以C正确2在等差数列an中，a10，a2012a20130，a2012a20130成立的最大自然数n是()A4025 B4024C4023 D4022答案B解析等差数列an的首项a10，a2012a20130，a2012a20130，假设a201200，而a10，可得a2012
4、a12011d0，矛盾，故不可能a20120，a20130，而S40254025a20130成立的最大自然数n为4024.3.已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若，则()A. B.C. D.答案B解析.故选B.4在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.答案10解析由a3a4a5a6a725，得5a525，所以a55，故a2a82a510.5中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_答案5解析设等差数列的首项为a1，根据等差数列的性质可得，a1201521010，解得a15.6在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，
5、当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_答案解析由题意知d0且即解得1d0，a7a100，即a80.又a8a9a7a100，a90，所以a3a4，所以a39，a413，所以所以所以通项an4n3.(2)由(1)知a11，d4.所以Snna1d2n2n22.所以当n1时，Sn最小，最小值为S1a11.(3)由(2)知Sn2n2n，所以bn，所以b1，b2，b3.因为数列bn是等差数列，所以2b2b1b3，即2，所以2c2c0，所以c或c0(舍去)，故c.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a59，S515，则使其前n项和Sn取得最小值时的n_.错解错因分析等差数列的前n项和最值问题，可以
6、通过找对称轴来确定，本题只关注到nN*，并未关注到n1与n2时，S1S2，导致错误正解a59，S515，a13，d3.an3n6，Snn2n.把Sn看作是关于n的二次函数，其对称轴为n.当n1或n2时，S1S2且最小心得体会时间：60分钟基础组1.2016冀州中学猜题已知等差数列an中，a7a916，S11，则a12的值是()A15 B30C31 D64答案A解析由题意可知2a8a7a916a88，S1111a6，a6，则d，所以a12a84d15，故选A.22016武邑中学仿真已知Sn表示数列an的前n项和，若对任意的nN*满足an1ana2，且a32，则S2014()A10062013 B
7、10062014C10072013 D10072014答案C解析在an1ana2中，令n1，则a2a1a2，a10，令n2，则a322a2，a21，于是an1an1，故数列an是首项为0，公差为1的等差数列，S201410072013.故选C.32016冀州中学期末在数列an中，若a11，a2，(nN*)，则该数列的通项为()Aan BanCan Dan答案A解析由已知式可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.42016衡水中学预测设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9()A63 B45C36 D27答案B解析S39，S6S336927，根据S3
8、，S6S3，S9S6成等差数列，S9S645，S9S6a7a8a945，故选B.52016衡水二中期中已知等差数列an中，前四项和为60，最后四项和为260，且Sn520，则a7()A20 B40C60 D80答案B解析前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60260)480.Sn520,52080不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60260)840.所以共有5204013项，因此a7是中间项，所以a740.62016枣强中学模拟已知等差数列an的前n项和为Sn，且4，则()A. B.C. D4答案A解析由4，可设S2x，S44x.S2，S4S2，S
9、6S4成等差数列，2(S4S2)S2(S6S4)则S63S43S212x3x9x，因此，.72016衡水二中热身设等差数列an的前n项和为Sn，若a13，ak1，Sk12，则正整数k_.答案13解析由Sk1Skak112，又Sk1，解得k13.8.2016武邑中学期末设正项数列an的前n项和是Sn，若an和都是等差数列，且公差相等，则a1_.答案解析设等差数列an的公差为d，则Snn2(a1)n，数列是等差数列，则是关于n的一次函数(或者是常数)，则a10，n，从而数列的公差是，那么有d，d0(舍去)或d，故a1.92016衡水中学周测已知等差数列an的前n项和为Sn，若S210，S555，则
10、a10_.答案39解析设等差数列an的公差为d，由题意可得即解得a13，d4，a10a1(101)d39.102016冀州中学月考设数列an为等差数列，数列bn为等比数列若a1a2，b1b2，且bia(i1,2,3)，则数列bn的公比为_答案32解析设a1，a2，a3分别为ad，a，ad，因为a10，又bb1b3，所以a4(ad)2(ad)2(a2d2)2，则a2d2a2或a2a2d2(舍)，则da.若da，则q2(1)2321，舍去；若da，则q232.112016衡水中学模拟等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn
11、的前n项和Tn.解(1)由a110，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数，又SnS4，故a40，a50，于是103d0,104d0.解得d.因此d3.数列an的通项公式为an133n.(2)bn.于是Tnb1b2bn.122016冀州中学期中已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1，判断an是否为等差数列，并说明你的理由解数列an不是等差数列，anSnSn1(n2)，an2SnSn10，SnSn12SnSn10(n2)，2(n2)，又S1a1，是以2为首项，2为公差的等差数列2(n1)22n，故Sn.当n2时，anSnSn1，an1，而an1an.当n
12、2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列能力组13.2016衡水中学猜题已知正项数列an中，a11，a22,2aaa(n2)，则a6等于()A16 B8C2 D4答案D解析由2aaa(n2)可得，数列a是首项为a1，公差为aa3的等差数列，由此可得a13(n1)3n2，即得an，a64，故应选D.14.2016衡水中学一轮检测已知数列an为等差数列，若0的n的最大值为()A11 B19C20 D21答案B解析0，a110，且a10a110，S2010(a10a11)0的n的最大值为19.15.2016武邑中学猜题已知等差数列an中，a512，a2018.(1)求数
13、列an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项和Sn.解(1)设数列an的公差为d，依题意得，解得，an20(n1)(2)2n22.(2)由(1)知|an|2n22|，当n11时，Sn2018(2n22)(21n)n；当n11时，SnS1124(2n22)110n221n220.综上所述，Sn.162016冀州中学仿真已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4.(1)求证an为等差数列；(2)求an的通项公式解(1)证明：当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11，而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此an为等差数列(2)由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)n2，即ann2.