1、1在区间2，2上随机取一个数 x，cosx 的值介于 0 到12之间的概率为_解析：当 x2，33，2时，cosx0，12，P26 13.答案：13解析：S 圆R2，S312R2sin1203 34 R2，P3 34 R2R2 3 34.2如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概率是_答案：3 343如图，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A，连结AA，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为_解析：当 AA的长度等于半径长度时，AOA3，A点左右各一，构造出与角度有关的几何概型，故由几何概型的概率公式得 P23213.答案：134有一杯2升
2、的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是 _解析：P0.12 1200.05.答案：0.055如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为_平方米解析：根据题意可设该不规则图形的面积为 x 平方米，向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375 颗，所以可知 37510001x，解得 x83.答案：83几何概型定义 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的地取一点，该区域
3、中每一点被取到的机会；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个，这里的区域可以是、等，用这种方法处理随机试验，称为几何概型几何区域内随机都一样指定区域中的点线段平面图形立体图形d的测度D的测度概率计 算公式 在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率考点一 与长度有关的几何概型 自主解答 记事件 A弦长超过圆内接等边三角形的边长，如图，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为
4、 CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型公式得P(A)1222 12.若在例1的已知圆中，从圆周上任取两点，连接两点成一条弦，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率解：记 A弦长超过圆内接正三角形边长.如图，取圆内接正三角形的顶点 B作为弦的一个端点，当另一个端点 E 在劣弧CD 上时，|BE|BC|，而劣弧CD的长恰为圆周长的13.由几何概型公式有 P(A)13.在集合 Am|关于 x 的方程 x2mx34m10 无实根中随机的取一元素 x，恰使式子 lgx 有意义的概率为_解析：由于 m24(34m1)0，得1m0.在数轴上表示
5、为，故所求概率为45.答案：45(2011惠州模拟)已知集合(x，y)|x0,2，y1,1(1)若x，yZ，求xy0的概率；(2)若x，yR，求xy0的概率考点二 与面积(或体积)有关的几何概型 自主解答(1)设事件“xy0，x，yZ”为A，x，yZ，x0,2，即x0,1,2，y1,1，即y1,0,1.则基本事件如下表.1 0 0 1 0 y x 0 1 2 基本事件总和 n9，其中满足“xy0”的基本事件 m8，P(A)mn89.故 x，yZ，xy0 的概率为89.(2)设事件“xy0，x，yR”为 B，x0,2，y1,1基本事件用下图四边形 ABCD 区域表示，SABCD224.事件 B
6、包括的区域如阴影部分，S 阴影SABCD121141272，P(B)S阴影SABCD72478，故 x，yR，xy0 的概率为78.已知|x|2，|y|2，点P的坐标为(x，y)(1)求当x，yR时，P满足(x2)2(y2)24的概率；(2)求当x，yZ时，P满足(x2)2(y2)24的概率解：(1)如图，点 P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x2)2(y2)24 的点的区域为以(2,2)为圆心，2 为半径的圆面(含边界)所求的概率 P1142244 16.(2)满足 x，yZ，且|x|2，|y|2 的点(x，y)有 25 个，满足 x，yZ，且(x2)2(y2)24 的
7、点(x，y)有 6 个，所求的概率 P2 625.设AB6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率考点三 几何概型的综合应用 自主解答(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是 1,1,4；1,2,3；2,2,2，共 3种情况，其中只有三条线段长为 2,2,2 时，能构成三角形，故构成三角形的概率为 P13.(2)设其中两条线段长度分别为 x，y，则第三条线段长度为 6xy，故全部试验结果所构成
8、的区域为0 x60y606xy6，即0 x60y60 xy6xyx6xyyy6xyx，即为xy3x3y3，所表示的平面区域为DEF，由几何概型知，所求概率为 PSDEFSAOB14.甲、乙两人约定上午700至800之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为720，740，800，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率解：设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7x8,7y8，即甲乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要想同乘一班车，必须满足 7x713，7y
9、713；713x723，713y723；723x8，723y8.即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，P13231213.即甲、乙同乘一车的概率为13.以填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与面积有关的几何概型是高考的重点内容，2010年福建高考将几何概型同立体几何相结合考查，是高考的一个重要考向考题印证(2010福建高考)(12分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EHA1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.(1)
10、证明：AD平面EFGH；(2)设AB2AA12a，在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自几何体A1ABFED1DCGH内的概率为P.当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EFa，求P的最小值规范解答 法一：(1)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADA1D1.又EHA1D1，ADEH.AD平面EFGH，EH平面EFGH，AD平面EFGH.(4分)(2)设 BCb，则长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积 VABBCAA12a2b，几何体 EB1FHC1G 的体积 V1(12EB1B1F)B1C1b2EB1B1F.(6 分)EB12B1F2a2，EB1B1F
11、EB12B1F22a22，当且仅当 EB1B1F 22 a 时等号成立从而 V1a2b4.(9 分)P1V1V 1a2b42a2b78，当且仅当 EB1B1F 22 a 时等号成立所以 P 的最小值等于78.(12 分)法二：(1)同法一(4 分)(2)设 BCb，则长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积 VABBCAA12a2b，几何体 EB1FHC1G 的体积V1(12EB1B1F)B1C1b2EB1B1F.(6 分)设B1EF(090)，则 EB1acos，B1Fasin.故 EB1B1Fa2sincosa22 sin2a22，当且仅当 sin21，即 45时等号成立从而 V1a2b4
12、.(9 分)P1V1V 1a2b42a2b78，当且仅当 sin21，即 45时等号成立所以 P 的最小值等于78.(12 分)1几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的2几何概型概率公式的应用对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域1(2011皖南八校联考)在区间0,1上随机取两个数 m，n，则关于 x 的一元二次方程 x2 nx
13、m0 有实根的概率为_解析：由题易知(m，n)与图中正方形内(包括边界)的点一一对应，若方程 x2 nxm0 有实根，则n4m00m10n1，其表示的区域为图中的阴影部分，且阴影部分面积为18，则 S阴影S正方形18，即关于 x 的方程 x2 nxm0 有实根的概率为18.答案：182在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_解析：正方体的体积为：2228，以 O 为球心，1 为半径且在正方体内部的半球的体积为：1243r312431323，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率
14、为：12381 112.答案：1 112解析：由函数在区间1，)上为增函数，得 b2a，P34.3(2011徐州模拟)已知函数f(x)ax2bx1，其中a(0,2，b(0,2，则此函数在区间1，)上为增函数的概率为_答案：344(2010湖南高考)在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为_解析：由|x|1 得，1x1，故易知所求概率为112123.答案：235(2010新课标全国)设函数yf(x)在区间0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0f(x)1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线yf(x)及直线x0，x1，y0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间0,1上的均匀随机数
15、x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i1,2，N)再数出其中满足yif(xi)(i1,2，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为_解析：这种随机模拟的方法，是在0,1内生成了 N 个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是 N1 个，所以根据比例关系SS正方形N1N，而正方形的面积为 1，所以随机模拟方法得到的面积为N1N.答案：N1N6设关于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求
16、上述方程有实根的概率解：设事件 A 为“方程 x22axb20 有实根”，当 a0，b0 时，方程 x22axb20 有实根的充要条件为ab.(1)基本事件共有 12 个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a的取值，第二个数表示 b 的取值事件 A 中包含 9 个基本事件，事件 A 发生的概率为 P(A)91234.(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成事件 A 的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，故所求的概率为 P(A)3212223223.