1、考点规范练63离散型随机变量及其分布列基础巩固1.(2020陕西宝鸡模拟)设随机变量的分布列为P=k4=ak(k=1,2,3,4),则P1345等于()A.15B.14C.13D.12答案:D解析:随机变量的分布列为P=k4=ak(k=1,2,3,4),a+2a+3a+4a=1,解得a=0.1,P1345=P=24+P=34=20.1+30.1=12.故选D.2.设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)的值为()A.1B.12C.13D.15答案:C解析:设X的分布列为X01Pp2p即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,失败的概率为p,
2、成功的概率为2p.由p+2p=1,得p=13.3.从装有除颜色外其他完全相同的3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是()A.435B.635C.1235D.36343答案:C解析:这是一个超几何分布问题,所求概率为P=C32C41C73=1235.4.从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球,设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X,则P(X=2)=()A.128B.928C.114D.914答案:D解析:X=2,即摸出的3个球有2种颜色,其中一种颜色的球有2个,另一种颜色的球有1个,故P(X=2)=A32C32C31C93=914
3、,故选D.5.一个袋子中装5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以表示取出的3只球中的最小号码,则随机变量的分布列为()A.123P131313B.1234P1101531025C.123P35310110D.123P11031035答案:C解析:随机变量的可能取值为1,2,3.当=1时,即取出的3只球中最小号码为1,则其他2只球只能在编号为2,3,4,5的4只球中任取2只,故P(=1)=C42C53=610=35;当=2时,即取出的3只球中最小号码为2,则其他2只球只能在编号为3,4,5的3只球中任取2只,故P(=2)=C32C53=310;当=3时,即取出的3只球中最小号码
4、为3,则其他2只球只能在编号为4,5的2只球中取,故P(=3)=C22C53=110.故选C.6.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量表示所选3人中女生的人数,则P(1)等于()A.15B.25C.35D.45答案:D解析:P(1)=1-P(=2)=1-C41C22C63=45.7.离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,yN)代替,分布列如下:X=i123456P(X=i)0.200.100.x50.100.1y0.20则P32X113等于()A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55答案:B解析:根据分布列的性质知,随机变量X的所有取值的概率
5、和为1,因此0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4,即10x+y=25,由x,y是09间的自然数,可解得x=2,y=5,故P32X113=P(X=2)+P(X=3)=0.35.8.已知随机变量X的分布列为:X12345P0.10.20.40.20.1若Y=2X-3,则P(1Y5)=.答案:0.6解析:由随机变量X的分布列及Y=2X-3,可知P(1Y5)=P(2X4)=P(X=3)+P(X=4)=0.4+0.2=0.6.9.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概
6、率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与均值.(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数)解:(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为C43+C33C93=584.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=C42C51+C43C93=1742,P(X=2)=C31C41C21+C32C61+C33C93=4384,P(X=3)=C22C71C93=112,故X的分布列为X123P17424384112从而E(X)=11742+24384+3112=4728.10.某航空公司进行空乘人员的招聘,记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高,数据用茎叶图
7、表示如图所示(单位:cm).应聘者获知:男性身高在区间174,182,女性身高在区间164,172的才能进入招聘的下一环节.(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数;(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人,记X为抽取到的男生人数,求X的分布列及期望E(X).解:(1)6名男生的平均身高是176+173+178+186+180+1936=181(cm),9名女生身高的中位数为168cm.(2)能进入下一环节的男生有3人,女生有4人.故X的所有可能取值是0,1,2,则P(X=0)=C42C72=27,P(X=1)=C41C31C72=47,P(X=2)=C32C72=17.所以X的分布
8、列为X012P274717故E(X)=027+147+217=67.能力提升11.若随机变量X的分布列如表所示,则a2+b2的最小值为.X012P13ab答案:29解析:由随机变量X的分布列,知13+a+b=1,且0a1,0b1,a+b=23,(a+b)2=a2+b2+2ab=49.2ab2a+b22=219=29,a2+b2=49-2ab49-29=29,a2+b2的最小值为29.12.某单位组织职工开展构建绿色家园活动,在今年3月份参加义务植树活动的职工中,随机抽取M名职工为样本,得到这些职工植树的株数,根据此数据作出频数与频率统计表和频率分布直方图,如图所示.分组频数频率10,15)50
9、.2515,20)12n20,25)mp25,30)10.05合计M1(1)求出表中m,n,M,p及图中a的值;(2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在区间25,30)的职工发放价值800元的奖品,对植树株数在区间20,25)的职工发放价值600元的奖品,对植树株数在区间15,20)的职工发放价值400元的奖品,对植树株数在区间10,15)的职工发放价值200元的奖品,在所取样本中,任意取出2人,并设X为此2人所获得奖品价值之差的绝对值,求X的分布列.解:(1)由题可知5M=0.25,12M=n,mM=p,又5+12+m+1=M,解得M=20,n=0.6,m=2,p=0.1,则15
10、,20)的频率与组距之比a为0.12.(2)2人所获得奖品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元,则P(X=0)=C52+C122+C22C202=10+66+1190=77190,P(X=200)=C51C121+C121C21+C21C11C202=4395,P(X=400)=C51C21+C11C121C202=1195,P(X=600)=C51C11C202=138.所以X的分布列为X0200400600P7719043951195138高考预测13.(2020山东泰安模拟)某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果),购入价为300元/袋,并以360元/袋的价格售出,
11、若前8小时内所购进的A水果没有售完,则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完毕(根据经验,2小时内完全能够把A水果低价处理完,且当天不再购进).该水果批发商根据往年的销量,统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量,制成频数分布条形图如图所示.现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A水果在一天的前8小时内的销售量的概率,记X表示A水果一天前8小时内的销售量,n表示水果批发商一天批发A水果的袋数.(1)求X的分布列;(2)以日利润的期望值为决策依据,在n=15与n=16中选其一,应选用哪个?解:(1)由题意知A水果在每天的前8小时内的销售量为14,15,
12、16,17的频率分别是0.2,0.3,0.4和0.1,故X的分布列为X14151617P0.20.30.40.1(2)当n=15时,设Y为水果批发商的日利润,则Y的可能取值为14(360-300)-(300-220)1=760,(360-300)15=900,又P(Y=760)=0.2,P(Y=900)=0.8,故E(Y)=7600.2+9000.8=872.当n=16时,设Z为水果批发商的日利润,同理Z的可能取值为680,820,960,又P(Z=680)=0.2,P(Z=820)=0.3,P(Z=960)=0.5,故E(Z)=6800.2+8200.3+9600.5=862.综上可知,当n=15时的日利润期望值大于n=16时的日利润期望值,故选n=15.