1、21.2指数函数及其性质第1课时指数函数的概念、图象及性质目标 1.能说出指数函数的定义；2.记住指数函数的图象与性质；3.会用指数函数的图象与性质解答有关问题重点 指数函数的概念、图象、性质难点 指数函数性质的概括总结.知识点一指数函数的概念填一填一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.答一答1下列函数是指数函数吗？y3x1；y3x1；y32x；y5x22.提示：它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数2指数函数定义中为什么规定a0且a1?提示：如果a0，当x0时，ax恒等于0；当x0时，ax无意义如果a0且a1.知识点二指数函数的图象和性质填
2、一填答一答3观察同一直角坐标系中函数y2x，y3x，y4x，y()x，y()x，y()x的图象如图所示，能得到什么规律？提示：(1)当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快(2)当0a0，且a1)的图象？提示：由指数函数yax(a0，且a1)的性质知，指数函数yax(a0，且a1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，(1，)，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数yax(a0，且a1)的图象类型一指数函数的概念例1(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()Ay(4)xByxCy4x Dyax2(a0，a1)(2)若y(a23a3)ax是指数函数，则有()Aa1或2
3、Ba1Ca2 Da0且a1(3)已知函数f(x)为指数函数，且f，则f(2)_.分析(1)(2)利用指数函数的定义；(3)设f(x)ax，采用待定系数法答案(1)B(2)C(3)解析(1)由指数函数的定义可知，只有B符合定义(2)由y(a23a3)ax是指数函数，a2.选C.(3)设f(x)ax(a0且a1)，a3，f(x)3x，f(2)32，故填.变式训练1(1)已知指数函数图象经过点P(1,3)，则f(3).(2)已知函数f(x)(a22a2)(a1)x为指数函数，则a1.解析：(1)设指数函数为f(x)ax(a0且a1)，由题意得a13，解得a，所以f(x)x，故f(3)3.(2)函数f
4、(x)(a22a2)(a1)x是指数函数，解得a1.类型二指数函数的图象命题视角1：指数函数的底与其图象的关系例2如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc答案B解析由图象可知的底数必大于1，的底数必小于1.过点(1,0)作直线x1，如图所示，在第一象限内直线x1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1db1cd0，则yax，ybx，ycx，ydx的图象如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图
5、象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大，或者说在第一象限内，指数函数的图象，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴变式训练2已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为(C)解析：由于0mn0且a1)的图象必过定点_答案解析根据指数函数yax(a0且a1)的图象恒过定点(0,1)，不论a取什么值，总有a01，当2x10，即x时，y3.函数的图象必过定点.变式训练3(1)函数ya3x13(a0且a1)的图象必过定点.(2)函数f(x)ax22x3m(a1)的图象恒过点(1,10)，则m9.解析：(1)令3x10，即x时，y2，所以函数ya3x13(a
6、0且a1)过定点.(2)由题意f(1)10，即a0m10，m9.命题视角3：指数函数的图象变换例4已知函数y|x1|.(1)试利用指数函数的图象作出该函数的图象；(2)由图象指出该函数的单调区间；(3)由图象指出当x取何值时，函数有最值解(1)y|x1|其图象如图所示(2)由图象知函数在(，1上是增函数，在1，)上是减函数(3)由图象知当x1时，函数有最大值1，无最小值与指数函数有关的函数的图象，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图象的平移、对称或翻折变换得到，然后利用图象直观地研究其性质.变式训练4函数yax(a0，且a1)的图象可能是(D)解析：当a1时，yax为增函数，函数yax的图
7、象可由yax的图象向下平移(0,1)个单位得到，A、B均不符合要求；当0a1个单位得到，C不符合，D符合，所以选D.类型三指数函数的定义域与值域例5求下列函数的定义域和值域： 解(1)由12x0得2x1，x0，y的定义域为(，0由02x1得12x0，012x1.y的值域为0,1)1.函数yaf(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同，值域要先确定f(x)的值域，再根据yax的单调性确定yaf(x)的值域.2.求函数yf(ax)的定义域，需先确定yf(u)的定义域，即uax的值域，由此确定x满足的不等式(组)，再利用单调性求x的范围；求函数yf(ax)的值域，需先利用单调性求uax的值域，即u的
8、取值范围，再确定函数yf(u)的值域，即函数yf(ax)的值域.变式训练5(1)已知函数y的定义域是(，0，则实数a的取值范围为0a1；(2)函数f(x)()x1，x1,2的值域为，2解析：(1)由ax10，得ax1a0，因为x(，0，由指数函数的性质知0a1.(2)函数y()x在区间1,2上是减函数，所以()2()x()1，即()x3.于是1f(x)31，即f(x)2.1给出下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3；y(2)x.其中，指数函数的个数是(B)A0 B1 C2 D3解析：由指数函数的定义可知只有是指数函数2指数函数yax与ybx的图象如图，则(C)Aa0，b0Ba0C0a1D
9、0a1,0b1,0a1.3函数f(x)3x3(1x5)的值域是(C)A(0，) B(0,9) C. D.解析：由1x5得2x32，则323x332，即0且a1.(1)求a的值(2)求函数yf(x)(x0)的值域解：(1)函数图象经过点，所以a21，则a.(2)由(1)知函数f(x)x1(x0)，由x0，得x11.于是0x112，所以函数的值域为(0,2本课须掌握的三大问题1指数函数中，底数是一个常量，自变量出现在指数位置上显然yxa不是指数函数，这一点要特别注意2指数函数中，系数一定为1，指数一定为x.例如，y32x不是指数函数，y2x1也不是指数函数3当0a1时，x，y0.(其中“x”的意义是“x接近于正无穷大”)