1、广西岑溪市2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）(全卷满分150分，考试时间120分钟)注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上.2.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.选择题答案用2B铅笔填涂在答题卷选择题方框内；非选择题用0.5mm黑色签字笔写在答题卷上各题的答题区域内.3.考生作答时，请在答题卡上作答(答题注意项见答题卡)，在本试题上作答无效.第I卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用并集
2、的定义，即可得答案；【详解】，故选：B.【点睛】本题考查并集的运算，属于基础题.2. 已知幂函数的图像经过点（4，2），则其解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设幂函数为，根据幂函数的图像经过点（4，2），代入求解.【详解】设幂函数为，因为幂函数的图像经过点（4，2），所以 ，解得，所以，故选：B【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对选项运用奇偶性和单调性的定义，结合常见函数的奇偶性和单调性，判断即可得到结论【详解】解：定义域为，因为，且，所以
3、此函数为非奇非偶函数；的定义域为，因为，且，所以此函数为非奇非偶函数；的定义域为，因为，所以为奇函数，但在和上为减函数，所以此函数不符合题意；的定义域为，因为，所以为奇函数，因为当时，为增函数，则在上递增，符合题意，故选：D【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题4. 设a()0.5，b30.5，clog30.2，则a，b，c的大小关系是（ ）A. cabB. abcC. bacD. acb【答案】A【解析】【分析】借助中间值0和1，进行比较大小.【详解】因为且，；所以；故选：A.5. 已知是定义在上的奇函数，当时，则（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】A【解析】分析】根据
4、题意可知f（0）0，由x（0，2上的解析式，得f（2）f（2）即可f（2）+f（0）的值【详解】f（x）是定义在2，2上的奇函数，f（0）0，又时，f（x）2x1，f（2）f（2）（221）3，f（2）+f（0）3故选：A【点睛】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，考查了计算能力，属于基础题6. 函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性”同增异减”计算可得；【详解】解：令，则，因为为单调递减函数，且函数在上递减，所以函数的单调递增区间为.故选：A【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，属于基础题.7. 己知函
5、数f(x)2x，x1，5，则f(x)的最小值是（ ）A. 1B. 8C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，通过换元可得，结合二次函数的性质即可求出函数的最小值.【详解】解：设，则 ，则，因为图象为抛物线，开口向上，且对称轴为，所以当时，函数有最小值，故选:C.8. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，排除C，只有A可满足故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，
6、可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项9. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要使函数是减函数，须满足 求不等式组的解即可.【详解】若函数在上单调递减，则得，故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.10. 若函数有4个零点，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】令，可得，作出的图象，令直线与的图象有4个交点，可求出实数a的取值范围.【详解】令，则，构造函数，作出的图象，如下图，在上的最大值为，当时，直线与的图象有4个交点，所以函
7、数有4个零点，实数a的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查函数的零点，注意利用数形结合方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.11. 设函数，则满足的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的定义域，分和两种情况，若满足时， 讨论求的取值范围.【详解】当时，所以，即符合题意；当时，若，则，即，解得：，所以，综上可知的取值范围是.故选：C【点睛】本题考查分段函数，重点考查分类讨论的思想，计算能力，属于中档题型.12. 已知函数，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得为奇函数且在上为增函数，据此可得原
8、不等式等价于，则有，解可得的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，其定义域为，有，函数奇函数，又由，则在上为增函数，即的取值范围为；故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数图象恒过定点，(其中且)，则的坐标为_.【答案】【解析】【分析】根据对数的性质，由题中条件，即可求出结果.【详解】因为函数图象恒过定点，(其中且)，所以只需，则，即，所以，因此的坐标为.故答案为：.14. 函数y的定义域是_【答案】(，5【解析】【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，然后利用指数不
9、等式的解法可得结果.【详解】由322x0，得2x25，x5所以函数定义域为故答案为：【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查计算，属基础题.15. 计算_【答案】0【解析】【分析】由题意结合分数指数幂的运算、对数运算直接运算即可得解.【详解】由题意.故答案为：.【点睛】本题考查了分数指数幂及对数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.16. 高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，当时，函数的值域为_【答案】【解析】【分析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值【详解】，则，当时，当时，当时，值域为故答案为：【
10、点睛】本题考查新定义函数，解题关键是理解新函数，利用新函数定义分类讨论求解三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设集合，（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据的值求得集合，由此求得两个集合的交集.（2）由于，故为空集或是的子集，由此分为两种情况，分别列不等式求得的取值范围.【详解】（1）当时，（2）当时， 当时，综上：【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查空集的概念，考查根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.18. 已知二次函数，满足，.（1）求函数的解析式；（2）求在区间上
11、的最大值；【答案】（1） (2)5【解析】【分析】（1）根据题干列出式子，进而得到，求出参数即可；（2）根据第一问得到函数的解析式，通过配方得到函数的对称轴，进而得到函数的单调性，最大值在-1处取得.【详解】（1）由，得.由，得，所以，解得，所以.（2）由（1）得，故函数图像的对称轴为.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，所以在区间上的最大值为【点睛】这个题目考查了二次函数的解析式的求法，待定系数法；考查了二次函数的单调性的确定，以及最值的求法，二次函数在小区间上的最值，首先要讨论区间端点和对称轴的关系，进而得到最值.19. 已知函数，且（1）求m的值，并用分段函数的形式来表示；（
12、2）在如图给定的直角坐标系内作出函数的草图（不用列表描点）；（3）由图象指出函数的单调区间【答案】(1)f（x）=(2)见解析（3）递增区间： ，递减区间： 【解析】【分析】（1）根据可求得；（2）结合（1）中的解析式画出函数的图象即可；（3）结合图象可得函数的单调区间详解】（1）由题意得，解得， （2）由（1）中的解析式画出函数的图象如下图，（3）结合图象可得函数的单调递增区间为，单调递减递减区间为【点睛】本题考查函数的图象的画法和图象的应用，体现了数形结合在解题中的应用，属于基础题20. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售
13、利润超过10万元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为t万元，则超出部分按进行奖励.记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）.（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；（2）如果业务员小王获得3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？【答案】(1) ;(2)22万元.【解析】【分析】（1）根据奖励方案,可得分段函数；（2）确定,利用函数解析式,即可得到结论.【详解】（1）当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为t万元，则超出部分按进行奖励.时，;时, 奖金y关于销售利润x的
14、关系式;（2）,解得.小王的销售利润是22万元.【点睛】本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查学生的计算能力,属于中档题.21. 已知函数(I)证明：函数是减函数(II)若不等式对恒成立，求实数的取值范围【答案】（）见解析； （）.【解析】【分析】(I)根据单调性定义证明即可；(II)不等式（a+x）（x1）2对x2，+）恒成立，得到ax在2，+）上恒成立，根据函数的单调性即可求出a的范围【详解】(I)在上任取，令， ，即，在上单调递减(II)在恒成立，在上恒成立，由（）可知在上单调递减，【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不
15、等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.22. 已知函数是R上的奇函数(a为常数)， （1）求实数a的值；（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）为上的奇函数，由得解； （2）由“任意，总存在，使得成立”得到等价命题是“在上的取值集合是在上的取值集合的子集”，分别求出两个函数的值域得解.【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，即，解得 （2）因为，且在上是减函数，在上为增函数所以在上的取值集合为.由得是减函数，所以在上是减函数所以在上取值集合为.由“任意，总存在，使得成立”在上的取值集合是在上的取值集合的子集，即.则有，且，解得：.即实数的取值范围是.【点睛】探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围；类似的，对于不等式，也可仿效此法