1、考纲要求1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.会简单应用空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直考情分析1.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容2一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力 小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中任意两
2、非零向量 a，b 共面。()(2)对于任意两个空间向量 a，b，若 ab0，则 ab。()(3)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)。()(4)对于非零向量 b，若 abbc，则 ac。()(5)若 ab0，则a，b是锐角。()解析：(1)正确。由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两非零向量共面。(2)错误。若 a 与 b 是非零向量，才有 ab0ab。(3)错误。因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量，(ab)cc，a(bc)a，故(ab)c 与 a(bc)不一定相等。(4)错误。根据向量数量积的几何意义，abbc 说明 a 在 b 方向上的投影与 c 在
3、 b 方向上的投影相等，而不是 ac。(5)错误。ab0，则a，b0，2，即a，b可能为 0，也就是 a 与 b 同向。2下列命题中是真命题的是()A分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B若|a|b|，则 a，b 的长度相等且方向相同或相反C若向量AB，CD 满足|AB|CD|，且AB与CD 同向，则ABCDD若两个非零向量AB与CD 满足ABCD 0，则ABCDD解析：A 错。因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面。B 错。因为|a|b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无关。C 错。因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较
4、，因此也就没有ABCD 这种写法。D 对。ABCD 0，ABCD，AB与CD 共线，故ABCD 正确。3向量 a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是()Aac，ac Bab，acCac，abD以上都不对解析：c(4，6,2)2(2，3,1)，ac。又 ab(2)2(3)0140，ab。答案：C4已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若AEAA1 xAByAD，则 x、y 的值分别为()Ax1，y1 Bx1，y12Cx12，y12 Dx12，y1解析：如图，AEAA1 A1E AA1 12A1C1 AA1 12(ABAD)。
5、答案：C5有下列 4 个命题：若 pxayb，则 p 与 a、b 共面；若 p 与 a、b 共面，则 pxayb；若MP xMA yMB，则 P、M、A、B 共面；若 P、M、A、B 共面，则MP xMA yMB。其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析：正确。中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb就不成立。正确。中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直线上，则MPxMA yMB 不正确。答案：B知识重温一、必记 2个知识点1空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相_共面向量平行于_的向量共线向量定理 对空间任意两个向量 a，
6、b(b0)，ab存在 R，使_共面向量定理若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p_平行或重合同一平面abxayb空间向量基本定理定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z使得 p_推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对平面 ABC内任一点 P 都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使OPxOA yOB zOC 且 xyz1xaybzc2.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：()ab|a|b|cosa，b；()ab_(a，b 为非零向量)；()|a|2a2，|a|x2y2z2。a
7、b0(2)向量的坐标运算：a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和ab_向量差ab_数量积ab_共线ab_(R，b0)垂直ab_夹角公式cosa，b_(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b30a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23二、必明 3个易误点1共线向量定理中 ab存在 R，使 ab 易忽视 b0。2共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的。3一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量。考点一 空间向量的运算【典例
8、1】如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点。(1)化简：A1O 12AB12AD；(2)设 E 是棱 DD1上的点，且DE 23DD1，若EO xAByAD zAA1，试求 x、y、z 的值。解析：(1)ABAD AC，A1O 12AB12AD A1O 12(ABAD)A1O 12ACA1O AO A1A。(2)EO ED DO 23D1D 12DB23D1D 12(DA AB)23A1A 12DA 12AB12AB12AD 23AA1，x12，y12，z23。悟技法空间向量的表示方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平
9、行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来。通一类1如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若A1B1 a，A1D1 b，A1A c，则下列向量中与B1M 相等的向量是()A12a12bcB.12a12bcC.12a12bcD12a12bc解析：B1M B1B BM A1A 12(BABC)A1A 12(B1A1 A1D1)c12(ab)12a12bc。答案：A考点二 共线、共面向量定理的应用【典例 2】已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，(1)求证：E、F、G、H
10、四点共面；(2)求证：BD平面 EFGH。证明：(1)连接 BG，则EG EBBGEB12(BCBD)EBBFEHEFEH，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H 四点共面。(2)因为EH AH AE12AD 12AB12(AD AB)12BD，所以 EHBD。又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH。悟技法应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PAPBMP xMA yMB对空间任一点 O，OP OA tAB(t为参数)对空间任一点 O，OP OM xMAyMB对空间任一点 O，OP(1t)O
11、A tOB(t 为参数)对空间任一点 O，OP(1xy)OM xOA yOB通一类2已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点M 满足13(OA OB OC)。(1)判断MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内。解析：(1)由OA OB OC 3OM，OA OM(OM OB)(OM OC)，即MA BM CM MB MC。MA，MB，MC 共面。(2)由(1)知MA，MB，MC 共面，且共过同一点 M，四点 M，A，B，C 共面。从而点 M 在平面 ABC 内。考点三 空间向量数量积的运算【典例 3】(2016宁波模拟)如图所示，已知
12、空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算：(1)EFBA。(2)EG BD。解析：设ABa，AC b，AD c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60。(1)EF12BD 12c12a，BAa，所以EFBA12c12a(a)12ac12a2141214。(2)EG EBBC CG 12AB(AC AB)12(AD AC)12AB12AC 12AD 12a12b12c，BD AD ABca。所以EG BD 12a12b12c(ca)12a212ab12bc12c2ac121414121212。悟技法1空间向量数量积计算的两种方
13、法(1)基向量法：ab|a|b|cosa，b。(2)坐标法：设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 abx1x2y1y2z1z2。2利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)a0，b0，abab0。(2)|a|a2。(3)cosa，b ab|a|b|。通一类3已知 A(1,0,0)，B(0，1,1)，OA OB 与OB 的夹角为 120，则 的值为()A 66 B.66C 66 D 6解析：OA OB(1，)，cos120122 212，得 66。经检验 66 不合题意，舍去，66。答案：C高考模拟1.(2016深圳模拟)已知三棱锥 OABC，点 M，N 分别为 AB，OC
14、的中点，且OA a，OB b，OC c，用 a，b，c 表示MN，则MN 等于()A.12(bca)B.12(abc)C.12(abc)D.12(cab)解析：由题意知MN ON OM12OC 12(OA OB)，因为OA a，OB b，OC c，所以MN 12(cab)。故选 D。答案：D2(2016金华模拟)已知四边形 ABCD 满足：ABBC 0，BCCD 0，CD DA 0，DA AB0，则该四边形为()A平行四边形 B梯形C长方形D空间四边形解析：由已知得BABC 0，CB CD 0，DC DA 0，ABAD 0，由夹角的定义知B，C，D，A 均为钝角，故 A、B、C 不正确。答案：
15、D3(2016成都模拟)已知 a(1,0,2)，b(6,2u1,2)，若 ab，则 与 u 的值可以是()A2，12 B13，12C3,2 D2,2解析：由题意知(1)226，可得 3 或 2，由 022(2u1)可得 u12，分析选项可知 A 正确。答案：A4(2016泰安模拟)在空间四边形 ABCD 中，则ABCD ACDB AD BC的值为()A1 B0C1 D2解析：如图，令ABa，AC b，AD c。则ABCD AC DB AD BCAB(AD AC)AC(ABAD)AD(AC AB)a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0，故选 B。答案：B5(2016烟台模拟)已知向量 a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且 a 与 b 同向，则 x，y 的值分别为_。1,3解析：由题意知 ab，所以x1x2y22y3，即y3x ，x2y22x ，解之得x2，y6，或x1，y3。当x2，y6时，b(2，4，6)2a，与 a 与 b 反向，不符合题意，应舍去。当x1，y3时，b(1,2,3)a，即 a 与 b 同向，故x1，y3。