1、考点规范练52抛物线基础巩固1.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)答案:B解析:由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0),选B.2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案:B解析:抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116
2、-y0=1,解得y0=-1516.3.(2020重庆模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点(p,0)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A,若|AF|=1,则抛物线C的方程为()A.y2=43xB.y2=2xC.y2=3xD.y2=4x答案:A解析:抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0,过点(p,0)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A(p,2p).因为|AF|=1,所以1=p-p22+(2p)2,解得p=23.因此抛物线C的方程为y2=43x.故选A.4.(2020湖北武汉模拟)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,点A
3、为抛物线C上第一象限内的点,B为l上一点,满足AF=12FB,则直线AB的斜率为()A.24B.13C.3D.22答案:D解析:作出图形,过点A作AD直线l,垂足为D,由抛物线的定义可知,|AD|=|AF|.设|AF|=m,AF=12FB,|FB|=2|AF|=2m,|BD|=|AB|2-|AD|2=9m2-m2=22m.设直线AB的倾斜角为,则tan=|BD|AD|=22,直线AB的斜率为k=tan=22.故选D.5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为()A.2B.4C.5D.6答案:A解析:抛物线y2=4x,
4、p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=12(x1+x2)=12(|AB|-p)=2,故选A.6.已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线C:y2=2px(p0)上,且AOB的面积为93,则p=()A.3B.3C.32D.332答案:C解析:根据抛物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=33x,与y2=2px联立得B(6p,23p).因为AOB的面积为93,所以34(43p)2=93,解得p=32.故选C.7.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|
5、FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为()A.6B.5C.4D.3答案:A解析:抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0).如图,过点A,B分别作AMl于点M,BNl于点N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连接OB,则|OB|=12|AF|,|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,|BN|=3,|AM|=6,故选A.8.(2020湖北武汉模拟)过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交C于点A,B,线段AB中点M的纵坐标为1,则直线AB的斜率k的值为;线段AB的长度为.答案:25解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,
6、0),由题意可知直线l的斜率存在,设为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-1).设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组y2=4x,y=k(x-1),可得y=ky24-1,即ky2-4y-4k=0,则y1+y2=4k=2,解得k=2,则直线l的方程为y=2(x-1),联立方程组y2=4x,y=2(x-1),消去y得x2-3x+1=0,又0,则x1+x2=3,因此|AB|=x1+x2+2=5.9.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所
7、以l的方程为y=32x-78.(2)由AP=3PB,可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x,可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4133.能力提升11.设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2x10,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=()A.32B.6C.62D.8答案:C解析:3|AF|=|BF|,根据抛物线的定义,可得32+p2=8+p2,解得p=2,抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,得x1=22,x
8、2=42,x1+x2=62.故选C.12.(2020安徽合肥模拟)如图所示,点F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-8=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围是.答案:(6,8)解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为l:x=-1.由抛物线的定义可得|AF|=xA+1,又圆x2+y2-2x-8=0可化为(x-1)2+y2=9,其圆心为F(1,0),半径为r=3,故FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=(xA+1)+(xB-xA)+3=4+xB.由抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-8=0,可得交点的横坐
9、标为2,即xB(2,4),故FAB的周长取值范围是(6,8).13.(2020山西临汾模拟)已知抛物线C:y2=2px(0p5),与圆M:(x-5)2+y2=16有且只有两个公共点.(1)求抛物线C的方程;(2)经过R(2,0)的动直线l与抛物线C交于A,B两点,试问在直线y=2上是否存在定点Q,使得直线AQ,BQ的斜率之和为直线RQ斜率的2倍?若存在,求出定点Q;若不存在,请说明理由.解:(1)联立方程(x-5)2+y2=16,y2=2px,得x2+(2p-10)x+9=0,抛物线C与圆M有且只有两个公共点,则=(2p-10)2-36=0,解得p=2或p=8,又0p0,则x1+x2=4(k2
10、+1)k2,x1x2=4.由题知2kRQ=kAQ+kBQ,22m-2=2-y1m-x1+2-y2m-x2=(m-x2)2-k(x1-2)+(m-x1)2-k(x2-2)(m-x1)(m-x2)=2kx1x2-(km+2k+2)(x1+x2)+4m(k+1)x1x2-m(x1+x2)+m2=4mk2-4km-8k2-8k-8k2(m-2)2-4m,整理得(m2-4)k-2(m+2)=0.上式对任意k成立,m2-4=0,m+2=0,解得m=-2.故所求定点为Q(-2,2).高考预测14.已知点F是抛物线y2=2px(p0)(O为坐标原点)的焦点,倾斜角为3的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A,当|AF|=2时,抛物线方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案:B解析:过点A作ABx轴于点B,则RtABF中,AFB=3,|AF|=2,所以|BF|=|AF|cosAFB=12|AF|=1,|AB|=|AF|sinAFB=3.设点A的坐标为(x0,3)x0p2,由x0+p2=2,3=2px0,解得p=1.所以抛物线的方程为y2=2x.故选B.