1、考点规范练50椭圆基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=1答案:A解析:由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,故椭圆方程为x2169+y2144=1.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点,若BF1F2的外接圆的半径为2b3,则椭圆C的离心率为()A.22B.32C.12D.23答案:C解析:设O为坐标原点,BF1F2
2、的外心必在线段OB上,且有c2+b-2b32=2b32,得b2=3c2,即a2-c2=3c2,得a=2c,因此椭圆C的离心率为e=ca=12.故选C.3.“-3m0,m+30,5-mm+3,解得-3m5且m1.因此“-3m|MN|.由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.6.已知椭圆C的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),其中c0,C的长轴长为2a,过F1的直线与C交于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,4|BF2|=5|AB|,则|AF2|=()A.54aB.43aC.23aD.a答案:D解析:由题意设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),连接AF2,图略.因为|AF1|=3|F1B
3、|,所以|BA|=4|F1B|,又4|BF2|=5|AB|=20|F1B|,所以|BF2|=5|F1B|.由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=2a=6|F1B|,所以|F1B|=13a,|AF1|=a,可得|AF2|=2a-a=a,故选D.7.已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是.答案:15解析:依题意,设点P(m,n)(n0),由题知F(-2,0),则线段PF的中点M-2+m2,n2在圆x2+y2=4上,故-2+m22+n22=4,又点P(m,n)在椭圆x29+y25=1上,得m29+
4、n25=1,联立两个方程得4m2-36m-63=0,解得m=-32或m=212(舍去),所以n=152,所以P-32,152,所以kPF=152-0-32-(-2)=15.8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P-1,32是椭圆上一点,|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的标准方程;(2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一直线与椭圆交于M,N两点,且SHMA=6SPHN,求直线MN的方程.解:(1)因为|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,所以a=2c,得a2=4c2.又P-1,32在椭圆上,所以14
5、c2+34c2=1,所以c=1,a2=4,b2=a2-c2=3,可得椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)因为P-1,32,由(1)计算可知A(2,0),H(0,1),当直线MN与x轴垂直时,不合题意.当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为y=kx+1,联立直线与椭圆的方程y=kx+1,x24+y23=1,可得(4k2+3)x2+8kx-8=0.由于H(0,1)在椭圆内,所以0恒成立,设M(x1,y1),N(x2,y2),由韦达定理可得x1+x2=-8k4k2+3,x1x2=-84k2+3,由SHMA=6SPHN,可得|AH|MH|=6|NH|PH|,又|AH|=2|PH|,所以|M
6、H|=3|NH|,得x1=-3x2,把代入,可得-2x2=-8k4k2+3,-3x22=-84k2+3,所以316k2(4k2+3)2=84k2+3,解得k=62,所以直线MN的方程为y=62x+1.9.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q-74,14共线,求k.解:(1)由题意得a2=b2+c2,ca=63,2c=22,解得a=3,b=1.椭圆M的
7、方程为x23+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由y=x+m,x23+y2=1,得4x2+6mx+3m2-3=0,因为0,所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.所以|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=2(x2-x1)2=2(x1+x2)2-4x1x2=12-3m22.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为6.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.直线PA的方程为y=y1x1+2(x+2).由y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,得(x1+2)2+3y
8、12x2+12y12x+12y12-3(x1+2)2=0.设C(xC,yC),所以xC+x1=-12y12(x1+2)2+3y12=4x12-124x1+7.所以xC=4x12-124x1+7-x1=-12-7x14x1+7.所以yC=y1x1+2(xC+2)=y14x1+7.设D(xD,yD),同理得xD=-12-7x24x2+7,yD=y24x2+7.记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,则kCQ-kDQ=y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74-y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74=4(y1-y2-x1+x2).因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0
9、.故y1-y2=x1-x2.所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=1.能力提升10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,MF1MF2=0,线段MF2的延长线交椭圆C于点N,若|MF1|,|MN|,|NF1|成等差数列,则椭圆C的离心率为()A.22B.32C.23D.33答案:A解析:设|MF2|=m,|MF1|,|MN|,|NF1|成等差数列,2|MN|=|MF1|+|NF1|,2|MN|=2a-|MF2|+2a-|NF2|.又|MF2|+|NF2|=|MN|,|MN|=43a,|NF2|=43a-m,|NF1|=2a-43a-m=2
10、3a+m.MF1MF2=0,MF1MF2,RtF1MN中,|NF1|2=|MN|2+|MF1|2,(2a-m)2+43a2=23a+m2,整理可得m=a,|MF2|=a,|MF1|=a,又在RtF1MN中,|F2F1|2=|MF2|2+|MF1|2,4c2=2a2,即a2=2c2,e=ca=22,故选A.11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,短轴长为2,点P为椭圆上任意一点,则1|PF1|+4|PF2|的最小值是.答案:94解析:据题意ca=32,b=1,解得a=2,c=3,于是|PF1|+|PF2|=2a=4,因此1|PF1|+4|PF2|=141|PF1|+4|PF
11、2|(|PF1|+|PF2|)=145+|PF2|PF1|+4|PF1|PF2|14(5+24)=94,当且仅当|PF2|=2|PF1|,即当|PF2|=83,|PF1|=43时等号成立.12.(2020广西柳州模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点围成的菱形的面积为43,椭圆的一个焦点为(1,0).(1)求椭圆的方程;(2)若M,N为椭圆上的两个动点,直线OM,ON的斜率分别为k1,k2,当k1k2=-34时,MON的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不为定值,说明理由.解:(1)由题意可知,2ab=43,c=1,即ab=23,a2-b2=1,解得a2=4,b2=3,
12、故椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线MN的斜率存在时,设方程为y=kx+m,由x24+y23=1,y=kx+m,消y可得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则有=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)0,即m20,代入SMON=23|m|3+4k24k2-m2+3=23m22m2=3.当直线MN的斜率不存在时,由于k1k2=-34,考虑到OM,ON关于x轴对称,不妨设k1=32,k2=-32,则点M,N的坐标分别为M2,62,N2,-62,此时SMON=1226=3,综上,MON的面积为定值3.高考
13、预测13.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),右顶点A(2,0),上顶点为B,左右焦点分别为F1,F2,且F1BF2=60,过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆于点D,交y轴于点E.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为AD的中点,是否存在定点Q,对于任意的k(k0)都有OPEQ?若存在,求出点Q;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意得a=2,在RtOBF2中,F1BF2=60,OBF2=30,|OB|=b,|OF2|=c,|BF2|=a,cos30=ba,32=b2,b=3,椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)(方法一)设直线AD:y=k(x-2)(k0),(*)令x=0,则y
14、=-2k,E(0,-2k),将(*)代入x24+y23=1,整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,设D(x0,y0),则2+xD=16k23+4k2,xD=8k2-63+4k2,yD=k8k2-63+4k2-2=-12k3+4k2.设P(xP,yP),P为AD的中点,xP=128k2-63+4k2+2=8k23+4k2,yP=12-12k3+4k2=-6k3+4k2,OP=8k23+4k2,-6k3+4k2.设存在Q(x0,y0)使得OPEQ,则EQ=(x0,y0+2k),OPEQ=0,8k2x03+4k2-6ky0+12k23+4k2=0,即4k2(2x0-3)-6ky0
15、3+4k2=0对任意的k0都成立,2x0-3=0,y0=0,x0=32,存在Q32,0使得OPEQ.(方法二)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),x124+y123=1,x224+y223=1,由-,得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1+y2)(y1-y2)3=0,P为AB的中点,x02+3y02y1-y2x1-x2=0.kAB=y1-y2x1-x2=k(k0),12+3y0k2x0=0.y0x0=kOP,kOP=-34k.设存在Q(x3,y3)使得OPEQ,则y3+2kx3=-1kOP=4k3,即2k(2kx3-3)-3y3=0,对任意k0都成立,即x3=32,y3=0,存在Q32,0使得OPEQ.9