1、考点规范练49直线与圆锥曲线基础巩固1.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.54D.52.(2021云南玉溪一中模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为()A.(1,-1)B.(2,0)C.12,-32D.(1,1)3.已知抛物线y=ax2(a0)与直线y=kx+b(k0)有两个公共点,其横坐标分别是x1,x2,而直线y=kx+b与x轴焦点的横坐标是x3,则x1,x2,x3之间的关系是()A
2、.x3=x1+x2B.x3=1x1+1x2C.x1x3=x1x2+x2x3D.x1x2=x1x3+x2x34.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MNl,则M到直线NF的距离为()A.5B.22C.23D.335.(2021广东梅州模拟)过点P(-1,-2)的两条直线与抛物线C:x2=4y分别相切于A,B两点,则PAB的面积为()A.272B.35C.27D.3526.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线
3、y=x+m对称,且x1x2=-12,则m的值为()A.32B.52C.2D.37.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.9.(2021云南昆明一中月考)已知直线l:y=x+m与椭圆C:x23+y2=1交于A,B两点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点F1,求|AB|;(2)线段AB的垂直平分
4、线与x轴交于点N12,0,求m.10.设O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,离心率为255.直线l:y=kx+m(m0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),PAPB=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.能力提升11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x23-y29=1B.x29-y23=1C.x24-y212=1D.
5、x212-y24=112.抛物线y=2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为()A.118B.54C.32D.113.已知椭圆C:x225+y2m2=1(0m0)上的点(t,1)到焦点F的距离为2,平行于y轴的两条直线l1,l2分别交于A,B两点,交的准线于C,D两点.(1)若F在线段AB上,E是CD的中点,证明:AEFD;(2)若过P(0,2)的直线交于G,H,以GH为直径的圆交y轴于M,N,证明:OMON为定值.答案：1.D解析不妨设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线y=bax与y=x2+1只有一个交点,由y=bax,y=x2+1,得ax2
6、-bx+a=0,所以=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=5.故选D.2.A解析因为焦点到准线的距离为p,则p=1,所以y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y12=2x1,y22=2x2,则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),kPQ=2y1+y2.P,Q关于直线l对称,kPQ=-1,即y1+y2=-2,y1+y22=-1.PQ的中点一定在直线l上,故x1+x22=y1+y22+2=1.故线段PQ的中点坐标为(1,-1).3.D解析由题意x3=-bk,联立抛物线y=ax2(a0)与直线y=kx+b得ax2-kx-b=0,x1+x2=k
7、a,x1x2=-ba,1x1+1x2=-kb,x1x2=x1x3+x2x3,故选D.4.C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,23).因为MNl,且N在l上,所以N(-1,23).因为F(1,0),所以直线NF:y=-3(x-1).所以M到直线NF的距离为|3(3-1)+23|(-3)2+12=23.5.A解析抛物线C:x2=4y,即y=14x2,故y=12x.设A,B两点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有1
8、2x1=y1+2x1+1,整理得x1+2y1=4,同理x2+2y2=4.故直线AB的方程为x+2y=4,由x+2y=4,x2=4y,得x2+2x-8=0,故x1+x2=-2,x1x2=-8,|AB|=1+14(-2)2-4(-8)=35.因为点P(-1,-2)到直线AB的距离为d=|-1-4-4|12+22=95,故PAB的面积为123595=272.6.A解析由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2x22,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设x10,解得
9、-23m0,且x1+x2=-322,x1x2=34,所以|AB|=2(x1+x2)2-4x1x2=2-3222-3=3.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),由题知线段AB的垂直平分线方程为y=-x+12,直线AB不平行于y轴,即x1x2,由x123+y12=1,x223+y22=1,两式相减整理得y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-13.因为M(x0,y0)是AB的中点,所以2x0=x1+x2,2y0=y1+y2.因为MNAB,所以kAB=-1kMN=12-x0y0,所以变形为12-x0y02y02x0=-13,解得x0=34,所以y0=-14,代入
10、直线y=x+m,可得-14=34+m,解得m=-1.10.(1)解设椭圆的右焦点为F1,则OM为AFF1的中位线.OM=12AF1,MF=12AF,|OM|+|MF|=|AF|+|AF1|2=a=5,e=ca=255,c=25,b=5,椭圆C的方程为x225+y25=1.(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).联立y=kx+m,x225+y25=1消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.0,x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-251+5k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+k
11、m(x1+x2)+m2=5k2m2-25k2-10k2m2+m2+5k2m21+5k2=-25k2+m21+5k2.P(0,1),PAPB=-4,(x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,5m2-251+5k2+-25k2+m21+5k2-2m1+5k2+5=0,整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-53(舍去).直线l的方程为y=kx+2,直线l过定点(0,2).11.A解析由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作FECD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2
12、)=3.又因为点F(c,0)到直线y=bax的距离为|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,a2+b2=c2,所以a2=3,所以双曲线方程为x23-y29=1.故选A.12.A解析由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线AB的方程为y=kx+b.由题意知y0b0.联立得y=kx+b,y=2x2,整理得2x2-kx-b=0,=k2+8b0,x1+x2=k2,x1x2=-b2,则|AB|=1+k2k24+2b,点M的纵坐标y0=y1+y22=x12+x22=k24+b.因为弦AB的长为3,所以1+k2k24+2b=3,即(1+k2)k24+2b
13、=9,故(1+4y0-4b)(y0+b)=9,即(1+4y0-4b)(4y0+4b)=36.由基本不等式得,(1+4y0-4b)+(4y0+4b)2(1+4y0-4b)(4y0+4b)=12,当且仅当b=18,y0=118时取等号,即1+8y012,y0118,所以点M的纵坐标的最小值为118.故选A.13.解(1)由题设可得e=ca=25-m25=154,得m2=2516,所以C的方程为x225+y22516=1.(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ0,由题意知yP0.由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-1yQ(x-5),所以|BP|=yP1+yQ2,|BQ
14、|=1+yQ2.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故AP1Q1的面积为1210210=52.|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故AP2Q2的面积为1213026130=52.综上,APQ的面积为52.14.证明(1)由题意1+p2=2,p=2,抛物线方程为x2=4y
15、,焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,设直线AB方程为y=kx+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4,所以Ex1+x22,-1,又D(x2,-1),要证AEFD,即证kAE=kFD,即证y1+1x1-x1+x22=2-x2,只要证y1+1x1-x2=-1x2.又y1=x124,x2=-4x1,所以x124+1x1+4x1=x14=-1x2成立,所以AEFD.(2)设直线AB方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为Q(x0,y0),由y=kx+2,x2=4y得x2-4kx-8=0,=16k2+320,x1+x2=4k,x1x2=-8,所以x0=x1+x22=2k,y0=kx0+2=2k2+2,即Q(2k,2k2+2).又|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4(1+k2)(2+k2),所以以AB为直径的圆的方程为(x-2k)2+(y-2k2-2)2=4(1+k2)(2+k2),令x=0得y2-(4k2+4)y-4=0.设M(0,y3),N(0,y4),则y3y4=-4,所以OMON=y3y4=-4为定值.10
