1、考点规范练48抛物线基础巩固1.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)答案:B解析:由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).选B.2.若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案:D解析:y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=
2、8,故选D.3.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案:B解析:抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116-y0=1,解得y0=-1516.4.(2020重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点(p,0)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A,若|AF|=1,则抛物线C的方程为()A.y2=43xB.y2=2xC.y2=3xD.y2=4x答案:A解析:抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0,过点(p,0
3、)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A(p,2p).因为|AF|=1,所以1=p-p22+(2p)2,解得p=23.因此抛物线C的方程为y2=43x.故选A.5.已知抛物线x2=ay(a0)与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为()A.x2=32yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y答案:D解析:设点M(x1,y1),N(x2,y2).由x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,因此所求的抛物线方程是x2=3y.6.已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线C:y2=
4、2px(p0)上,且AOB的面积为93,则p=()A.3B.3C.32D.332答案:C解析:根据抛物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=33x,与y2=2px联立得B(6p,23p),因为AOB的面积为93,所以34(43p)2=93,解得p=32.故选C.7.(2020湖北武汉模拟)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,点A为抛物线C上第一象限内的点,B为l上一点,满足AF=12FB,则直线AB的斜率为()A.24B.13C.3D.22答案:D解析:作出图形,过点A作AD直线l,垂足为D,由抛物线的定义可知,|AD|=|AF|,设|AF|=
5、m,AF=12FB,|FB|=2|AF|=2m,|BD|=|AB|2-|AD|2=9m2-m2=22m.设直线AB的倾斜角为,则tan=|BD|AD|=22,直线AB的斜率为k=tan=22.故选D.8.(2020湖北武汉模拟)过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交C于点A,B,线段AB中点M的纵坐标为1,则直线AB的斜率k的值为;线段AB的长度为.答案:25解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),由题意可知直线l的抛物线存在,设为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-1).设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组y2=4x,y=k(x-1),可得y=ky24-1,即ky2-4y-
6、4k=0,则y1+y2=4k=2,解得k=2,则直线l的方程为y=2(x-1),联立方程组y2=4x,y=2(x-1),消去y得x2-3x+1=0,又0,则x1+x2=3,因此|AB|=x1+x2+2=5.9.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.设M为线段AB的中点,则Mt,t2+12.由于EMAB,而EM=(t,t2-2),AB与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.当t=0时,|EM|=2,所求圆的方程为x2+y-522
7、=4;当t=1时,|EM|=2,所求圆的方程为x2+y-522=2.能力提升11.设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2x10,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=()A.32B.6C.62D.8答案:C解析:3|AF|=|BF|,根据抛物线的定义,可得32+p2=8+p2,解得p=2,抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,得x1=22,x2=42,x1+x2=62.故选C.12.已知双曲线y24-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为1,则p的值为()A.
8、1B.2C.22D.4答案:B解析:双曲线y24-x2=1的两条渐近线方程是y=2x.又抛物线y2=2px(p0)的准线方程是x=-p2,故A,B两点的纵坐标是y=p.AOB的面积为1,12p22p=1.p0,p=2.13.已知抛物线x2=2py(p0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1x2.(1)若直线AB的斜率为12,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.(2)若AP=PB,是否存在异于点P的点Q,使得对任意,都有QP(QA-QB)?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.解：(1)由已知得
9、p=2,直线和y轴交于点(0,2),则直线AB的方程为y-2=12x,即x-2y+4=0.由x-2y+4=0,x2=4y,得A,B的坐标分别为(4,4),(-2,1).又x2=4y,可得y=14x2,故y=12x,故抛物线在点A处切线的斜率为2.设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则b-4a-4=-12,(a+2)2+(b-1)2=(a-4)2+(b-4)2,解得a=-1,b=132,r2=1254,故圆的方程为(x+1)2+y-1322=1254,即为x2+y2+2x-13x+12=0.(2)存在.依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y,得x2-4kx-
10、8=0,故x1x2=-8.由已知AP=PB,得-x1=x2.若k=0,这时=1,要使QP(QA-QB),点Q必在y轴上.设点Q的坐标是(0,m),从而QP=(0,2-m),QA-QB=(x1,y1-m)-(x2,y2-m)=(x1-x2,y1-m-(y2-m),故QP(QA-QB)=(2-m)y1-y2-m(1-)=0,即y1-y2-m(1-)=0,即x124+x1x2x224-m1+x1x2=0,即14x2(x1+x2)(x1x2-4m)=0,将代入得m=-2.所以存在点Q(0,-2)使得QP(QA-QB).高考预测14.已知点F是抛物线y2=2px(p0)(O为坐标原点)的焦点,倾斜角为3的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A,当|AF|=2时,抛物线方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案:B解析:过点A作ABx轴于点B,则RtABF中,AFB=3,|AF|=2,所以|BF|=|AF|cosAFB=12|AF|=1,|AB|=|AF|sinAFB=3.设点A的坐标为(x0,3)x0p2,由x0+p2=2,3=2px0,解得p=1.所以抛物线的方程为y2=2x.故选B.