1、考点规范练45立体几何中的向量方法基础巩固1.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面的法向量为n=(2,x2+x,-x).若直线l平面,则x的值为()A.-2B.-2C.2D.22.(2021江西景德镇一中月考)如图,在四棱锥A-BCDE中,DECB,BE平面ABC,BE=3,AB=CB=AC=2DE=2,则异面直线DC与AE所成角的余弦值为()A.13013B.21313C.1313D.130263.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则点M的坐标为()A
2、.(1,1,1)B.23,23,1C.22,22,1D.24,24,14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为()A.12B.22C.13D.165.如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA平面ABCD.若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30B.45C.60D.906.(2021湖南衡阳八中考前预测)在空间直角坐标系中,经过点P(x0,y0,z0),且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,经过点P(x0,y0,z0)且方向向量为n
3、=(,v,)(v0)的直线l的方程为x-x0=y-y0v=z-z0.根据上面的材料解决下面的问题:现给出平面的方程为x-y+2z-7=0,经过点(0,0,0)的直线l1的方程为x-3=y5=z2,则直线l1与平面所成的角为()A.60B.120C.30D.457.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为.8.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,ADBC,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是.9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1
4、中,AA1=A1B1=2,BC=2.(1)若E为线段CC1的中点,求证:平面A1BE平面B1CD;(2)若点P为侧面A1ABB1(包含边界)内的一个动点,且C1P平面A1BE,求线段C1P长度的最小值.10.(2021陕西西安八校联考)在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,AB=2,AA1=4,M为侧棱DD1的中点,P为棱C1D1上一点,O为下底面ABCDEF的中心.(1)求证:MO平面ABD1E1;(2)若直线DP与平面ABB1A1所成角的正弦值为36,求tanDPD1的值.11.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形,且PA底面ABCD,过AB的平面与侧面PCD的交线为
5、EF,且满足SPEFS四边形CDEF=13.(1)证明:PB平面ACE;(2)若二面角C-AF-D的余弦值为55,求PAAB的值.能力提升12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面13.三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,N是BC的中点,点P在A1B1上,且满足A1P=A1B1,直线PN与平面ABC所成角的正弦值取最大值时,的值为()A.12B.22C.32D.25514.(2
6、021广西贵港模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1D上不含端点的动点,则直线B1E与CC1所成的角的余弦值不可能是()A.12B.13C.33D.2415.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABCD,且CD=2,AB=1,BC=22,PA=1,ABBC,N为PD的中点.(1)求证:AN平面PBC;(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值;(3)在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为2626?若存在,求出DMDP的值;若不存在,请说明理由.高考预测16.(2021湖南长沙模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
7、AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点.(1)若E为AB1上的一点,且EB1AB1=14,求证:DECD;(2)在(1)的条件下,若异面直线AB1与CD所成的角为45,求直线AC与平面AB1C1所成角的余弦值.答案：1.D解析当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得x=2.2.A解析如图所示,取BC的中点F,连接AF,DF,可得DFBE.因为BE平面ABC,所以DF平面ABC,又由AB=CB=AC且F为BC的中点,所以AFBC.以F为坐标原点,以AF,BF,DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(3,0,
8、0),E(0,1,3),C(0,-1,0),D(0,0,3),故CD=(0,1,3),AE=(-3,1,3),则cos=CDAE|CD|AE|=101013=13013.3.C解析设M(x,x,1).由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),则AM=(x-2,x-2,1),BD=(2,-2,0),BE=(0,-2,1).设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c),则nBD,nBE,即2a-2b=0,-2b+c=0.解得a=b,c=2b.令b=1,则n=(1,1,2).又AM平面BDE,所以nAM=0,即2(x-2)+2=0,得x=22.所以M22,22,
9、1.4.C解析如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).从而D1E=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),AD1=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则nAC=0,nAD1=0,即-a+2b=0,-a+c=0,得a=2b,a=c.令a=2,则n=(2,1,2).所以点E到平面ACD1的距离为h=|D1En|n|=2+1-23=13.5.B解析(方法一)建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0
10、),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为n1n2|n1|n2|=22,故所求的二面角的大小是45.图图(方法二)将其补成正方体.如图,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小为45.6.C解析因为平面的方程为x-y+2x-7=0,所以其的一个法向量为m1=(1,-1,2).因为直线l1的方程为x-3=y5=z2,所以其的一个方向向量为n1=(-3,5,2),故直线l1与平面所成角的正弦值为-3-5+2436=12,所以直线l1与平面所成的角为30.7.30解析如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD
11、=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P0,-a2,a2.则CA=(2a,0,0),AP=-a,-a2,a2,CB=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos=CBn|CB|n|=a2a22=12.=60,直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30.8.63解析依题意建立空间直角坐标系,如图所示,则D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),可知AD=12,0,0是平面SAB的一个法向量.设平面SCD的法向量n=(x,y,z),因为SD=12,0,-1,DC=12,1,0,所以nSD=0,nDC=0
12、,即x2-z=0,x2+y=0.令x=2,则y=-1,z=1,所以n=(2,-1,1).设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为,则cos=|ADn|AD|n|=122+0(-1)+0112222+(-1)2+12=63.9.解由题意知DA,DC,DD1两两垂直,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0).(1)证明:E是线段CC1的中点,E(0,2,1).DB1=(2,2,2),DC=(0,2,0),BA1=(0
13、,-2,2),BE=(-2,0,1).设m=(x1,y1,z1)是平面B1CD的法向量,则DB1m=2x1+2y1+2z1=0,DCm=2y1=0,解得x1=-2z1,y1=0,故可取m=(-2,0,1).设n=(x2,y2,z2)是平面A1BE的法向量,则BA1n=-2y2+2z2=0,BEn=-2x2+z2=0,解得y2=2x2,z2=2x2,故可取n=(1,2,2).mn=-21+02+12=0,mn,平面A1BE平面B1CD.(2)P为侧面A1ABB1(包含边界)内的一个动点,设P(2,a,b),且0a2,0b2,则C1P=(2,a-2,b-2).C1P平面A1BE,C1Pn,C1Pn
14、=2+2(a-2)+2(b-2)=0,解得a=3-b,故1b2,|C1P|=2+(a-2)2+(b-2)2=2+(1-b)2+(b-2)2=2b2-6b+7=2b-322+52.1b2,当b=32时,|C1P|取得最小值102.故线段C1P长度的最小值为102.10.解取BC的中点G,连接OG,以点O为坐标原点,OG,OD所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系,如图所示,则O(0,0,0),M(0,2,2),A(0,-2,0),B(3,-1,0),D1(0,2,4),D(0,2,0),C(3,1,0).(1)证明:设平面ABD1E1的法向量为m=(x1,y1,z1),AB=(3,1,0),
15、BD1=(-3,3,4),由mAB=3x1+y1=0,mBD1=-3x1+3y1+4z1=0,取y1=-3,可得m=(1,-3,3).又OM=(0,2,2),OMm=-23+23=0,则mOM.OM平面ABD1E1,因此,OM平面ABD1E1.(2)设平面AA1B1B的法向量为n=(x2,y2,z2),AB=(3,1,0),AA1=(0,0,4),由nAB=3x2+y2=0,nAA1=4z2=0,取x2=1,可得n=(1,-3,0).设D1P=D1C1=DC=(3,-1,0)=(3,-,0),其中01.则DP=DD1+D1P=(0,0,4)+(3,-,0)=(3,-,4),由已知可得|cos|
16、=|nDP|n|DP|=23242+16=36,解得=22,从而可得D1P=22D1C1=2,所以tanDPD1=DD1D1P=22.11.(1)证明已知四边形ABCD为正方形,ABCD.又CD平面PCD,AB平面PCD,AB平面PCD.又AB平面ABFE,平面ABFE平面PCD=EF,EFAB.EFCD.由SPEFS四边形CDEF=13,知F,E分别为PC,PD的中点.连接BD交AC于点G,则G为BD的中点.连接GE,在PBD中,EG为中位线,EGPB.又EG平面ACE,PB平面ACE,PB平面ACE.(2)解底面ABCD为正方形,且PA底面ABCD,PA,AB,AD两两垂直,建立如图所示的
17、空间直角坐标系Axyz.设AB=AD=2a,AP=2b,则A(0,0,0),D(0,2a,0),C(2a,2a,0),G(a,a,0),P(0,0,2b),F(a,a,b).PA底面ABCD,DG底面ABCD,DGPA.四边形ABCD为正方形,ACBD,即DGAC.又ACPA=A,AC,PA平面CAF,DG平面CAF.平面CAF的一个法向量为DG=(a,-a,0).设平面AFD的法向量为m=(x,y,z),AD=(0,2a,0),AF=(a,a,b),mAD=2ay=0,mAF=ax+ay+bz=0,取z=-a,可得平面AFD的一个法向量为m=(b,0,-a).设二面角C-AF-D的大小为,则
18、cos=DGm|DG|m|=aba2+a2a2+b2=55,得ba=63.又PA=2b,AB=2a,PAAB=ba=63.当二面角C-AF-D的余弦值为55时,PAAB=63.12.B解析以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,BD1=(-1,-1,1),EF=-13BD1,A1DEF=ACE
19、F=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.故选B.13.A解析分别以AB,AC,AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示.由题意知P(,0,1),N12,12,0,则PN=12-,12,-1.易得平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1).则直线PN与平面ABC所成的角满足sin=|cos|=1-122+54,于是问题转化为二次函数求最值问题.又因为0,2,当最大时,sin最大,所以当=12时,sin最大为255,同时直线PN与平面ABC所成的角取得最大值.故选A.14.C解析如图,建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为1,则B1(1,0,1),设E(0,a,1-a
20、),B1E=(-1,a,-a)(0a1),CC1=AA1=(0,0,1).直线B1E与CC1所成的角为锐角或直角,|cos|=CC1B1E|CC1|B1E|=-a2a2+1.令f(x)=x2x2+1=12+1x2(0x1),所以f(x)在区间(0,1)内单调递增,易知f(x)0,33,则直线B1E与CC1所成的角的余弦值的范围为0,33,其中120,33,130,33,240,33,330,33.15.解过点A作AECD于点E,则DE=1.以A为原点,AE,AB,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),E(22,0,0),D(22
21、,-1,0),C(22,1,0),P(0,0,1).N为PD的中点,N2,-12,12.(1)证明:AN=2,-12,12,BP=(0,-1,1),BC=(22,0,0).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则mBP=-y+z=0,mBC=22x=0,可取m=(0,1,1),ANm=-12+12=0,即ANm,又AN平面PBC,AN平面PBC.(2)AP=(0,0,1),AD=(22,-1,0),设平面PAD的法向量为n=(a,b,c),则nAP=c=0,nAD=22a-b=0,可取n=(1,22,0).cos=mn|m|n|=2223=23.故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值
22、为23.(3)假设在线段PD上存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为2626.令DM=DP,0,1,则点M的坐标为(22-22,-1,).CM=(-22,-2,).由(1)知,平面PBC的一个法向量为m=(0,1,1),直线CM与平面PBC所成角的正弦值为2626,2626=CMm|CM|m|=|2-2|82+(-2)2+22,化简得212-50+24=0,即(3-2)(7-12)=0.0,1,=23.故DMDP=23.16.(1)证明取AB中点M,连接CM,MD,有MDAB1.因为AC=BC,所以CMAB.因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以平面ABC平面ABB1A1
23、.因为平面ABC平面ABB1A1=AB,CM平面ABC,所以CM平面ABB1A1,因为A1B平面ABB1A1,所以CMA1B.因为EB1AB1=14AB1=4EB1,E为AB1的四等分点,D为BB1的中点,所以DEA1B.因为AA1=AB,所以直棱柱的侧面AA1B1B是正方形,所以AB1A1B,又因为MDAB1,所以A1BMD,又MDCM=M,MD,CM平面CMD,所以A1B平面CMD,而CD平面CMD,所以A1BCD,即CDDE.(2)解O是AB1与A1B的交点,如图,以M为坐标原点,以MA,MO,MC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设AB=2a,由条件可知CDM=45,所以DM=CM=2a,所以AB1=22a,所以A(a,0,0),B1(-a,2a,0),C1(0,2a,2a),C(0,0,2a),所以AB1=(-2a,2a,0),B1C1=(a,0,2a),AC=(-a,0,2a).设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z),则AB1n=0,B1C1n=0,即-2x+2y=0,x+2z=0,令x=2,则n=(2,2,-1).设直线AC与平面AB1C1所成的角为,则sin=|cos|=ACn|AC|n|=-2235=23015,所以cos=10515,即直线AC与平面AB1C1所成角的余弦值为10515.