1、常考问题10数列求和及其综合应用 (建议用时：50分钟)1数列an的通项公式an，若an的前n项和为24，则n为()A25 B576 C624 D625解析an( )，前n项和Sn(1)()() 124，故n624.故选C.答案C2在等差数列an中，a1142，d2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列bn，则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是()A23 B24 C25 D26解析因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列bn，所以新数列的首项为b1a1142，公差为d236，则bn142(n1)(6)令bn0，解得n24，因为nN*，所以数列bn的前24项都为正数项，从25项开始
2、为负数项因此新数列bn的前24项和取得最大值故选B.答案B3已知各项都为正的等比数列an满足a7a62a5，存在两项am，an使得 4a1，则的最小值为()A. B. C. D.解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理有q2q20，解得q2或q1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)，当且仅当，即n2m4时取得最小值.答案A4(2013聊城模拟)已知首项为正数的等差数列an的前n项和为Sn，若a1 006和a1 007是方程x22 012x2 0110的两根，则使Sn0成立的正整数n
3、的最大值是()A1 006 B1 007 C2 011 D2 012解析由题意知，a1 006a1 0072 0120，a1 006a1 0072 0110，a1 0070,2a1 007a1a2 0130，S2 0130，又因Sn，n的最大值为2 011.答案C5已知函数f(x)cos x(x(0,2)有两个不同的零点x1，x2，方程f(x)m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为()A B. C. D解析不妨设x1x2，x3x4.由题意，可得x1，x2的值分别为，代入检验若m，则x3，x4的值分别为，因为，显然这四个数不能构成等差数列；若m，则x
4、3，x4的值分别为，因为，故这四个数不能构成等差数列；若m，则x3，x4的值分别为，因为，显然这四个数不能构成等差数列；若m，则x3，x4的值分别为，显然这四个数能构成等差数列，公差为.答案D6在正项数列an中，a12，an12an35n，则数列an的通项公式为_解析在递推公式an12an35n的两边同时除以5n1，得，令bn，则式变为bn1bn，即bn11(bn1)，所以数列bn1是等比数列，其首项为b111，公比为.所以bn1n1，即bn1n1，故an5n32n1.答案an5n32n17(2013陕西卷)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为
5、_解析左边为平方项的(1)n1倍的和，右边为(123n)的(1)n1 倍答案12223242(1)n1n2(1)n18(2013临沂模拟)设Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列cn是首项为2，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，则d_.解析由题意可知，数列cn的前n项和为Sn，前2n项和为S2n，所以22.因为数列cn是“和等比数列”，即为非零常数，所以d4.答案49(2013江西卷)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对
6、于任意的nN*，都有Tn0.所以Snn2n.n2时，anSnSn12n，n1时，a1S12适合上式an2n.(2)证明由an2n，得bnTn.10已知函数f(x)(x1)2，g(x)4(x1)，数列an是各项均不为0的等差数列，其前n项和为Sn，点(an1，S2n1)在函数f(x)的图象上；数列bn满足b12，bn1，且(bnbn1)g(bn)f(bn)(nN)(1)求an并证明数列bn1是等比数列；(2)若数列cn满足cn，证明：c1c2c3cn3.(1)解因为点(an1，S2n1)在函数f(x)的图象上，所以aS2n1.令n1，n2，得即解得a11，d2(d1舍去)，则an2n1.由(bn
7、bn1)g(bn)f(bn)，得4(bnbn1)(bn1)(bn1)2.由题意bn1，所以4(bnbn1)bn1，即3(bn1)4(bn11)，所以.所以数列bn1是以1为首项，公比为的等比数列(2)证明由(1)，得.令Tnc1c2c3cn，则Tn，Tn，得，Tn122.所以Tn3.所以c1c2c3cn33.11(2013天津卷)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值(1)解设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.